Matrizen/2x2/S 3-Darstellung/Irreduzibel/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

{}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Daher liegt eine Gruppe vor, die von einem Element der Ordnung ${}3$ erzeugt wird, und die damit isomorph zur ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist.

b) Wir setzen

{}M={\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,,

was nach (a) eine Untergruppe der Ordnung ${}2$ erzeugt, und

{}N={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,

was eine Untergruppe der Ordnung ${}2$ erzeugt. Es ist

{}{\begin{aligned}M\circ N&={\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&-1\\0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}M^{2}\circ N&={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\-1&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}

was zu den aufgelisteten Matrizen gehört. Wegen

{}{\begin{aligned}N\circ M&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\-1&-1\end{pmatrix}}\\&=M^{2}\circ N\end{aligned}}

sind die Matrizen unter der Multiplikation abgeschlossen. Wegen der Ordnungseigenschaften der beiden erzeugenden Matrizen ${}M$ und ${}N$ gehört zu jeder der Matrix auch ihre inverse Matrix dazu. Die Matrizen permutieren die drei Geraden

K{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,K{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,K{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}

ineinander, was für die ersten beiden Geraden klar ist durch die Spalten in den sechs Matrizen, und sich für die dritte Gerade ergibt, indem man in jeder Matrix die zweite Spalte von der ersten Spalte abzieht. Die Erzeuger stellen sicher, dass jede Permutation wirklich auftritt, also ist die Gruppe isomorph zur ${}S_{3}$ .

c) Ein eindimensionaler invarianter Untervektorraum muss für alle sechs Matrizen ein Eigenraum sein. Die Matrix ${}N$ hat die beiden Eigenräume ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ (mit Eigenwert ${}1$ ) und ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ (mit Eigenwert ${}-1$ ). Wegen