Matrizen/2x2/Z mod 3-Darstellung/C/Vollständige Zerlegung/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

{}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Daher liegt eine Gruppe vor, die von einem Element der Ordnung ${}3$ erzeugt wird, und die damit isomorph zur ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist.

b) Da eine zyklische Gruppe vorliegt, geht es um die Eigenräume des Erzeugers ${}{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ . Das charakteristische Polynom der Matrix ${}M$ ist

{}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X+1&1\\-1&X\end{pmatrix}}\\&=(X+1)X+1\\&=X^{2}+X+1.\end{aligned}}

Die Nullstellen davon sind

{}x_{1,2}=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,,

dies sind also die Eigenwerte. Der Kern von

{}{\begin{pmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}+1&1\\-1&{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&1\\-1&{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}\,

ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\frac {1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\\-1\end{pmatrix}}$ und der Kern von

{}{\begin{pmatrix}{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}+1&1\\-1&{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&1\\-1&{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}\,

ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\\-1\end{pmatrix}}$ , dies sind die Eigenräume. Somit liegt die direkte Zerlegung