Matrizen/3/U nach T/Beschreibe mit Gleichungssystem/3/Aufgabe/Lösung

a) Wir beschreiben zuerst ${}T$ als Kern einer Linearform. Das lineare Gleichungssystem

${}x+5y-z=0\,$

${}-9x+3y+7z=0\,$

führt auf (${}7I+II$)

${}x-19y=0\,.$

Daher ist ${}\left(19,\,1,\,24\right)$ eine Lösung und ${}T$ ist der Kern der durch ${}\left(19,\,1,\,24\right)$ gegebenen Linearform auf dem ${}K^{3}$. Die Bedingung, dass eine ${}3\times 3$-Matrix ${}M$ den Untervektorraum ${}U$ nach ${}T$ abbildet, bedeutet also, dass

${}{\left(\left(19,\,1,\,24\right)\circ M\right)}u=0\,$

für ${}u\in U$ ist, was auf der gegebenen Basis von ${}U$ überprüft werden kann. Wenn man

${}M={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}}\,$

ansetzt, so müssen die beiden Bedingungen

${}\left(19,\,1,\,24\right){\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5\\0\\-6\end{pmatrix}}=0\,$

und

${}\left(19,\,1,\,24\right){\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-4\\3\\-7\end{pmatrix}}=0\,$

erfüllt sein. Die erste Bedingung bedeutet

${}{\begin{aligned}0&=\left(19a+d+24g,\,19b+e+24h,\,19c+f+24k\right){\begin{pmatrix}5\\0\\-6\end{pmatrix}}\\&=95a+5d+120g-96c-6f-144k\end{aligned}}$

und die zweite Bedingung bedeutet

${}{\begin{aligned}0&=\left(19a+d+24g,\,19b+e+24h,\,19c+f+24k\right){\begin{pmatrix}-4\\3\\-7\end{pmatrix}}\\&=-76a-4d-96g+57b+3e+72h-133c-7f-148k.\end{aligned}}$

b) Da in der ersten Gleichung die Variable ${}b$ nicht vorkommt, müssen wir nicht weiter eliminieren.

c) Da die beiden Gleichungen linear unabhängig sind, besitzt der Lösungsraum die Dimension ${}7$.

Zur gelösten Aufgabe