Mechanische ebene Kurven/Gerade und Kreis/Beispiele/Textabschnitt

Wir betrachten den Fall einer mechanischen Kurve, wo die eine Bahn eine Gerade und die zweite Bahn ein Kreis ist. Dies ist die Situation bei einer Dampfmaschine (insbesondere, wenn die Gerade durch den Kreismittelpunkt verläuft).

Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass die Gerade durch $y = 0$ gegeben ist. Die Koordinaten des Punktes auf der Geraden sind dann

P_{1} = (x_{1}, y_{1}) = (x_{1}, 0) .

Für den Kreis kann man annehmen, dass er den Mittelpunkt $(0, b)$ und den Radius $r$ besitzt. Der Kreisbahnpunkt $P_{2} = (x_{2}, y_{2})$ erfüllt dann die Bedingung $x_{2}^{2} + (y_{2} - b)^{2} = r^{2}$ . Das gesamte mechanische System wird also durch die beiden Bedingungen

$x_{2}^{2} + (y_{2} - b)^{2} = r^{2}$
$(x_{2} - x_{1})^{2} + y_{2}^{2} = d^{2}$

beschrieben, wobei $d$ wieder der Koppelungsabstand sei. Betrachtet man diese zwei Gleichungen in den Koordinaten $x_{2}, y_{2}$ und $x_{2} - x_{1}$ , so sieht man, dass es sich um den Schnitt von zwei Zylindern handelt, ähnlich wie in Beispiel. Die erlaubten Stangenkonfigurationen des mechanischen Systems lassen sich also in drei geeigneten Koordinaten als der Durchschnitt von zwei Zylindern deuten. Dabei müssen allerdings weder die Radien übereinstimmen noch müssen die Innenachsen der Zylinder sich treffen. Ein solcher Durchschnitt und die zugehörigen Trajektorien können schon relativ kompliziert sein.

In den folgenden Beispielen brauchen wir ein Lemma, das eine einfache Eliminationssituation beschreibt.

Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und seien $F_{1} = a_{1} X^{2} + b_{1} X + c_{1}$ und $F_{2} = a_{2} X^{2} + b_{2} X + c_{2}$ zwei quadratische Polynome in einer Variablen über $R$ mit $a_{1} \neq 0$ und $(a_{1}, b_{1})$ und $(a_{2}, b_{2})$ linear unabhängig. Dann gehört zum Ideal $(F_{1}, F_{2}) \cap R$ das Element

(a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2})^{2} - b_{1} (- a_{2} c_{1} b_{2} - c_{2} a_{2} b_{1} + a_{1} b_{2} c_{2}) + c_{1} (a_{1} b_{2}^{2} - 2 a_{2} b_{1} b_{2}) .

Beweis

Wir haben zunächst

a_{2} F_{1} - a_{1} F_{2} = (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) X + a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2} .

Daraus ergibt sich der Ausdruck (dieses Argument ist nicht ganz richtig, es lässt sich aber auch rigoroser durchführen)

X = - \frac{a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2}}{a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}} .

Wir setzen das in $F_{1}$ ein und multiplizieren mit dem Quadrat des Nenners und erhalten

a_{1} (a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2})^{2} - b_{1} (a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2}) (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) + c_{1} (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2})^{2} .

Hier kommt im zweiten Summand $- b_{1} a_{2} c_{1} a_{2} b_{1}$ und im dritten Summand $c_{1} a_{2}^{2} b_{1}^{2}$ vor; diese beiden Summanden heben sich weg, in allen übrigen Monomen kommt $a_{1}$ vor. Wir können also $a_{1}$ wegkürzen und übrig bleibt

(a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2})^{2} - b_{1} (- a_{2} c_{1} b_{2} - c_{2} a_{2} b_{1} + a_{1} b_{2} c_{2}) + c_{1} (a_{1} b_{2}^{2} - 2 a_{2} b_{1} b_{2}) .

◻

Beispiel

Wir betrachten das mechanische Koppelungssystem, das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch $(0, 1)$ mit dem Koppelungsabstand $d = 2$ definiert ist, also durch den Geradenbahnpunkt und Kreisbahnpunkt

P_{1} = (x_{1}, 1) und P_{2} = (x_{2}, y_{2})

mit den beiden Bedingungen

$x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 1$ ,
$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - 1)^{2} = 4$ .

Es handelt sich also um den Schnitt von zwei Zylindern, allerdings mit unterschiedlichen Radien und mit Innenachsen, die sich nicht treffen. Die Differenz der beiden Gleichungen ist

x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 y_{2} - 2 = 0,

mit der man eine Gleichung ersetzen kann. Daraus sieht man auch, dass man die Variable $y_{2}$ eliminieren kann und so zu einem System mit einer Gleichung in zwei Variablen kommt, siehe Aufgabe, und dass das System irreduzibel ist, siehe Aufgabe.

Interessant sind die beiden Geraden

G_{1} = V (x_{2}, y_{2} + 1)

und

G_{2} = V (x_{2} - x_{1}, y_{2} + 1),

die sich im Punkt

P = (0, 0, - 1)

schneiden. Die Gerade $G_{1}$ liegt auf dem einen Zylinder und schneidet den anderen Zylinder tangential, und umgekehrt. Das geometrische Bild ist, dass der kleinere Zylinder aus dem größeren eine „gebogene Acht“ herausstanzt, wobei $P$ der Kreuzungspunkt der Acht ist.

Die erlaubten Stangenkonfigurationen lassen sich folgendermaßen gewinnen. Zu jedem Kreispunkt gibt es zwei Möglichkeiten, wie die Stange liegen kann, mit der Ausnahme des Kreisbahnpunktes $(0, - 1)$ , wo der Geradenbahnpunkt $(0, 1)$ sein muss.

Wir starten mit der Situation, wo der Punkt $(0, 1)$ der Kreisbahnpunkt ist, und wo $(- 2, 1)$ der Geradenbahnpunkt ist (die Stange liegt also links auf der Geraden), und lassen den Kreisbahnpunkt im Uhrzeigersinn um den Kreis wandern. Der Kreisbahnpunkt zieht dann den Geradenbahnpunkt hinter sich her, bis er unten bei $(0, - 1)$ angekommen ist. Die Stange ist dann der vertikale Durchmesser des Kreises (der Geradenbahnpunkt ist dann in $(0, 1)$ und der Kreisbahnpunkt ganz unten). Ab dann wandert der Kreisbahnpunkt auf dem linken Kreisbogen nach oben und schiebt dabei die Stange weiter nach rechts, bis der Geradenbahnpunkt bei $(2, 1)$ ankommt.

Die andere Möglichkeit, wo der Punkt $(0, 1)$ der Kreisbahnpunkt ist, ist die, wo die Stange rechts auf der Geraden liegt (mit $(2, 1)$ als Geradenbahnpunkt). Der Kreisbahnpunkt bewegt sich erneut im Uhrzeigersinn. Dabei schiebt er den Geradenbahnpunkt zuerst nach rechts bis zu einem gewissen Extremum, bei dem die Stange senkrecht zum Kreis im Kreisbahnpunkt steht. Von da an zieht der Kreisbahnpunkt den Geradenbahnpunkt zurück nach links, wobei sich die Stange aufrichtet, bis sie den vertikalen Durchmesser des Kreises einnimmt. Weiter wandert der Kreisbahnpunkt auf dem linken Kreisbogen wieder nach oben, wobei er den Geradenbahnpunkt bis zum Extremum nach links schiebt, und im letzten Stück wieder nach $(- 2, 1)$ zieht.

Insbesondere wird der vertikale Durchmesser des Kreises zweimal von der Stange eingenommen, diese Stangenkonfiguration entspricht also dem Kreuzungspunkt der Acht.

Wir wollen nun die Trajektorie zum Mittelpunkt der Stange berechnen, also zu

\begin{matrix} P & = P_{1} + \frac{1}{2} (P_{2} - P_{1}) \\ = (x_{1}, 1) + \frac{1}{2} (x_{2} - x_{1}, y_{2} - 1) \\ = (\frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2}, \frac{1}{2} y_{2} + \frac{1}{2}) \\ = : (x, y) . \end{matrix}

Wir interessieren uns für eine Gleichung für $x$ und $y$ , und führen die Variable $z = \frac{1}{2} x_{1} - \frac{1}{2} x_{2}$ ein. Dann ist

x_{1} = x + z, x_{2} = x - z und y_{2} = 2 y - 1

und das Gleichungssystem schreibt sich in den neuen Variablen als

(x - z)^{2} + (2 y - 1)^{2} = 1 und (- 2 z)^{2} + (2 y - 2)^{2} = 4,

wobei man letzteres als $z^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ schreiben kann bzw. als $z^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ . Die erste Gleichung ergibt ausgerechnet

z^{2} - 2 z x + x^{2} + 4 y^{2} - 4 y = 0 .

Damit ergibt sich nach Fakt (mit $R = ℝ [x, y]$ und der zusätzlichen Variablen $z$ ; es ist also $a_{1} = a_{2} = 1$ und $b_{1} = 0$ ) die Gleichung

\begin{matrix} (c_{1} - c_{2})^{2} + c_{1} b_{2}^{2} & = (y^{2} - 2 y - x^{2} - 4 y^{2} + 4 y)^{2} + (y^{2} - 2 y) (2 x)^{2} \\ = (- 3 y^{2} + 2 y - x^{2})^{2} + (y^{2} - 2 y) (2 x)^{2} \\ = 9 y^{4} + x^{4} + 4 y^{2} - 12 y^{3} + 6 x^{2} y^{2} - 4 x^{2} y + 4 x^{2} y^{2} - 8 x^{2} y \\ = 9 y^{4} + 10 x^{2} y^{2} + x^{4} - 12 y^{3} - 12 x^{2} y + 4 y^{2} . \end{matrix}

Das ist eine Quartik (Kurve vom Grad vier) mit zwei Singularitäten.

Beispiel

Wir betrachten das mechanische System aus Einheitskreis und $x$ -Achse, wo der Koppelungsabstand $d = 1$ ist. Das mechanische System wird dann durch die beiden Gleichungen

$x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 1$ ,
$(x_{2} - x_{1})^{2} + y_{2}^{2} = 1$

beschrieben. Es handelt sich um den Durchschnitt von zwei Zylindern mit gleichem Radius und sich treffenden Innenachsen, d.h. wir können auf die Ergebnisse von Beispiel zurückgreifen. Dort wurde gezeigt, dass der Durchschnitt durch zwei Ellipsen gegeben ist, die sich in zwei Punkten schneiden. Diese Beschreibung muss sich auch im Kontext des mechanischen Systems wiederfinden. Welche Stangenkonfigurationen entsprechen der einen Ellipse, welche der anderen, welche Konfigurationen liegen auf beiden?

Machen wir uns also einen Überblick über die erlaubten Konfigurationen. Wenn der Geradenpunkt (also der Punkt auf der Geradenbahn) der Kreismittelpunkt ist, so ist jeder Punkt des Kreises als Kreisbahnpunkt erlaubt. Die radialen Strahlen des Kreises bilden also eine Schar von erlaubten Stangenkonfigurationen, und diese bilden zusammen die eine Ellipse. Die andere Ellipse entspricht der Menge der Stangenkonfigurationen, bei denen der Geradenbahnpunkt von $- 2$ nach $+ 2$ läuft und dabei den Kreisbahnpunkt im oberen oder unteren Kreisbogen vor sich herschiebt bzw. hinterherzieht. Es gibt zwei Stangenkonfigurationen, die zu beiden Familien gehören, nämlich die mit dem Kreismittelpunkt als Geradenbahnpunkt und $(0, 1)$ bzw. $(0, - 1)$ als Kreisbahnpunkt. In einer solchen Stangenkonfiguration kann das mechanische System nicht nur vorwärts und rückwärts laufen, sondern wesentlich die Richtung wechseln.

Wie sehen die Trajektorien eines Punktes auf der bewegten Stange aus? Die Gesamttrajektorie ist die Vereinigung der beiden Trajektorien, die zu den beiden irreduziblen Komponenten des Systems gehören. Wie viele Selbstdurchdringungspunkte gibt es?

Für einen Punkt $P = P_{1} + u (P_{2} - P_{1})$ der Koppelungsstange sind die Koordinaten gleich

(z_{1}, z_{2}) = (x_{1} + u (x_{2} - x_{1}), u y_{2}) .

Bei $u = 0$ ist die Trajektorie das reelle Intervall $[- 2, 2]$ , und bei $u = 1$ ist es der Einheitskreis. Es sei also nun $u \neq 0, 1$ . Die Projektion der radialen Komponenten des Sytems ist einfach der Kreis mit Radius $u$ . Die Projektion der anderen Ellipse ist wieder eine Ellipse, die den Kreis in unterschiedlicher Weise schneiden kann. Siehe auch Aufgabe.