Menge/Potenzmenge/Endlich/Maximale Elemente/Aufgabe/Lösung

1. Da $G$ unendlich ist, gibt es darin insbesondere verschiedene Elemente $x_n$ zu $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Wir betrachten die endlichen Teilmengen

   $G_n:=\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}.$

   Diese gehören zu $M$ und es liegen die (echten) Inklusionen  $G_n\subset G_{n+1}$  vor, d.h. diese Mengen bilden eine Kette. Eine obere Schranke für diese Mengen muss aber alle Elemente $x_n$ enthalten, also unendlich sein, und eine solche gibt es nicht in $M$.

2. Es gibt in $M$ keine maximalen Elemente. Ein Element $N\in M$ ist eine endliche Menge von $G$. Da $G$ unendlich ist, gibt es ein Element $x\in G$ mit $x\notin N$. Dann ist $N\cup \{x\}$ eine ebenfalls endliche Teilmenge von $G$ (gehört also zu $M$), die $N$ echt umfasst, sodass $N$ nicht maximal ist.

Zur gelösten Aufgabe