Mengen/Projektiver Limes über Diagramm/Universell/Definition

Limes (Mengen)

Es sei $(I,\succcurlyeq )$ eine geordnete Menge und es sei $M_i$, $i\in I$, ${\phi }_{ij}:M_i\to M_j$ für  $i\succcurlyeq j$,  ein Diagramm in der Kategorie der Mengen. Eine Menge $M$ zusammen mit Abbildungen $p_i:M\to M_i$ heißt Limes (oder projektiver Limes) der $M_i$, wenn  $p_j={\phi }_{ij}\circ p_i$  gilt und wenn es zu jeder anderen Menge $(N,q_i)$ mit dieser Eigenschaft eine eindeutige Abbildung $\psi :N\to M$ mit  $p_i\circ \psi =q_i$  gibt. Er wird mit $\underset{i\in I}{\underleftarrow{\lim }}{M}_i$ bezeichnet.