Mersenne-Primzahlen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Primzahl der Form ${}2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.

Generell nennt man die Zahl ${}M_{n}=2^{n}-1$ die ${}n$ -te Mersenne-Zahl. Mit dieser Bezeichnung sind die Mersenne-Primzahlen genau diejenigen Mersenne-Zahlen, die Primzahlen sind. Eine Mersenne-Zahl besitzt im Zweiersystem die Ziffernentwicklung ${}11111\ldots 1111$ . Das ist auch die Anzahl der Spiele in einem im K.-o.-System ausgetragenen Pokalwettbewerb mit ${}2^{n}$ Mannschaften.

Lemma

Ist ${}2^{n}-1$ eine Primzahl, so ist auch ${}n$ eine Primzahl.

Beweis

Es sei eine Darstellung ${}n=ab$ mit natürlichen Zahlen ${}a,b$ gegeben. Wir setzen in der polynomialen Identität

{}X^{k}-1=(X-1)(X^{k-1}+X^{k-2}+\cdots +X+1)\,

${}X=2^{a}$ und ${}k=b$ ein und erhalten, dass ${}2^{a}-1{|}2^{n}-1$ . Da ${}2^{n}-1$ als prim vorausgesetzt wurde, folgt ${}2^{a}-1=1$ oder ${}2^{a}-1=2^{n}-1$ , also ${}a=1$ oder ${}a=n$ .

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Bemerkung

Die Mersenne-Zahl ${}M_{n}=2^{n}-1$ hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau ${}n$ Einsen besteht. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind

2^{2}-1=3,2^{3}-1=7,2^{5}-1=31,2^{7}-1=127.

Die Zahl ${}2^{11}-1=2047=23\cdot 89$ ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der nächste Kandidat, nämlich ${}2^{13}-1=8191$ , ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass für die Exponenten

2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107{\text{ und }}127

Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb des Exponenten ${}258$ . Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt ${}52$ Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte ist

2^{136279841}-1.

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.

Alle größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es für diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, nämlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue größte Primzahl gefunden. Für eine Rekordliste siehe Mersenne-Primzahlen.