Modallogik/Ich weiß, dass ich nichts weiß/Aufgabe/Lösung

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  1. Für die Tauotologie

    ergibt sich, wenn man die Boxen vergisst, der Widerspruch , also ist das Axiomenschema paradox.

  2. Es ist

    Somit gilt die linke Seite für alle genau dann, wenn die rechte Seite für alle gilt, und dies ist in einer -Modallogik äquivalent dazu, dass es für alle gilt.

  3. Das Leerheitsaxiom ist offenbar stärker. Wegen der Widerspruchsregel gilt

    Nach Fakt  (1) folgt

    und nach Fakt  (4) gilt

    Mit dem Kettenschluss ergibt sich

    Wir setzen nun für eine Tautologie ein, etwa . Eine doppelte Anwendung der Nezessisierungsregel liefert

    Das Sokratesaxiom liefert

    Damit sind die beiden Voraussetzungen von oben erfüllt und somit gilt

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