Modallogik/Ich weiß, dass ich nichts weiß/Aufgabe/Lösung

1. Für die Tauotologie

   ${}\alpha =p\vee \neg p\,$

   ergibt sich, wenn man die Boxen vergisst, der Widerspruch ${}\neg \alpha$, also ist das Axiomenschema paradox.

2. Es ist

   $\Box \neg \Box \alpha \leftrightarrow \Box \Diamond \neg \alpha .$

   Somit gilt die linke Seite für alle ${}\alpha$ genau dann, wenn die rechte Seite für alle ${}\alpha$ gilt, und dies ist in einer ${}K$-Modallogik äquivalent dazu, dass es für alle ${}\neg \alpha$ gilt.

3. Das Leerheitsaxiom ist offenbar stärker. Wegen der Widerspruchstautologie gilt

   $\vdash \Box \beta \wedge \neg \Box \beta \rightarrow \alpha .$

   Nach Fakt  (1) folgt

   $\vdash \Box (\Box \beta \wedge \neg \Box \beta )\rightarrow \Box \alpha$

   und nach Fakt  (4) gilt

   $\vdash \Box \Box \beta \wedge \Box \neg \Box \beta \rightarrow \Box (\Box \beta \wedge \neg \Box \beta ).$

   Mit dem Kettenschluss ergibt sich

   $\vdash \Box \Box \beta \wedge \Box \neg \Box \beta \rightarrow \Box \alpha .$

   Wir setzen nun für ${}\beta$ eine Tautologie ein, etwa ${}\beta =p\rightarrow p$. Eine doppelte Anwendung der Nezessisierungsregel liefert

   $\vdash \Box \Box \beta .$

   Das Sokratesaxiom liefert

   $S\vdash \Box \neg \Box \beta .$

   Damit sind die beiden Voraussetzungen von oben erfüllt und somit gilt

   $S\vdash \Box \alpha .$

Zur gelösten Aufgabe