Modul/Dachprodukt/Konstruktion/Textabschnitt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $V$ ein $R$ -Modul und $n \in ℕ$ . Wir konstruieren das sogenannte $n$ -te Dachprodukt von $V$ mit sich selbst, geschrieben $\overset{n}{⋀} V$ . Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form

(v_{1}, \dots, v_{n}) mit v_{i} \in V

und die zugehörige Menge der $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ . Wir betrachten den freien Modul

H = R^{(S)},

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

a_{1} e_{s_{1}} + \dots + a_{k} e_{s_{k}} mit a_{i} \in R und s_{i} \in S,

die $e_{s}$ bilden eine Basis. In $H$ betrachten wir den Untermodul $U$ , der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v + w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v, w \in V$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, a v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - a e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ und $a \in R$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{j - 1}, v, v_{j + 1}, \dots, v_{n})}

für $i < j$ und beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots,, v_{j - 1}, v_{j + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ .

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

\overset{n}{⋀} V := H / U,

d.h. man bildet den Restklassenmodul von $H$ modulo dem Untermodul $U$ .