Modul/Direkte Summe von Untermoduln/Linear unabhängig/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei ${}M$ die direkte Summe der Untermoduln ${}U_{i}$, ${}i\in I$, und es sei in jedem ${}U_{i}$ eine Familie ${}v_{ij}$, ${}j\in J_{i}$ von linear unabhängigen Vektoren gegeben.

Dann ist auch die Gesamtfamilie ${}v_{ij}$, ${}i\in I$, ${}j\in J_{i}$, linear unabhängig in ${}M$.

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