Modul/Elementfamilie/Lineare Abbildung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei ${}w_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen in ${}M$ und es sei

$\varphi \colon R^{(I)}\longrightarrow M,\,e_{i}\longmapsto w_{i},$

der zugehörige ${}R$-Modulhomomorphismus im Sinne von Fakt. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. ${}\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn ${}w_{i}$, ${}i\in I$, linear unabhängig ist.
2. ${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn ${}w_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}M$ ist.
3. ${}\varphi$ ist genau dann bijektiv, wenn ${}w_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}M$ ist.

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