Modul/Erzeugendensystem/Darstellbaren Vektor weglassen/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}M$ und  ${}w\in M$  ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

$w,v_{i},i\in I,$

ein Erzeugendensystem von ${}M$ ist und dass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}v_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}M$ ist.

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