Modul/Homomorphismen nach endlich erzeugten Ring auf 0/Untermodul/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Wir betrachten

${}{\tilde {M}}={\left\{m\in M\mid {\text{ für jeden Modul-Homomorphismus }}\varphi :M\rightarrow E{\text{ in einen endlich erzeugten Modul }}E{\text{ ist }}\varphi (m)=0\right\}}\,.$

a) Zeige, dass ${}{\tilde {M}}$ ein Untermodul von ${}M$ ist.

b) Es sei ${}M$ endlich erzeugt. Zeige  ${}{\tilde {M}}=0$. 

c) Es sei jetzt ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich und  ${}f\in R$,   ${}f\neq 0$  und ${}f$ keine Einheit. Wir betrachten die Nenneraufnahme  ${}M=R_{f}$  als ${}R$-Modul. Zeige  ${}{\tilde {M}}=M$. 

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