Modul/Homomorphismen nach endlich erzeugten Ring auf 0/Untermodul/Nenneraufnahme/Aufgabe/Lösung

a) Offensichtlich ist  $0\in \tilde{M}$.  Wenn  $m\in \tilde{M}$  ist und  $r\in R$,  so ist für jeden Modulhomomorphismus $\phi :M\to E$ in einen endlich erzeugten Modul $E$

$\phi (rm)=r\phi (m)=r\cdot 0=0,$

also  $rm\in \tilde{M}$.  Wenn  $m_1,m_2\in \tilde{M}$  ist, so ist für jeden Modulhomomorphismus $\phi :M\to E$ in einen endlich erzeugten Modul $E$

$\phi (m_1+m_2)=\phi (m_1)+\phi (m_2)=0+0=0,$

also  $r{m}_1+m_2\in \tilde{M}$. 

b) In diesem Fall zeigt die Identität $\phi :M\to M$, dass außer der $0$ kein Element die Bedingung von $\tilde{M}$ erfüllt.

c) Wir zeigen, dass jeder Modulhomomorphismus

$\phi :R_f⟶E$

mit $E$ endlich erzeugt die Nullabbildung ist. Sei

$m=\frac{r}{f^n}$

ein Element und

$\phi \left(\frac{r}{f^n}\right)=v\ne 0$

angenommen. Für jedes  $k\in \mathbb{N}$  ist

$\left(\frac{r}{f^n}\right)=f^k\left(\frac{r}{f^{n+k}}\right)$

und damit ist aufgrund der $R$-Linearität

$v=\phi \left(\frac{r}{f^n}\right)=\phi \left(f^k\frac{r}{f^{n+k}}\right)=f^k\phi \left(\frac{r}{f^{n+k}}\right).$

Wir können also stets

$v=f^k{v}_k$

mit  $v_k=\phi \left(\frac{r}{f^{n+k}}\right)\in E$  schreiben, wobei

$v_k=f{v}_{k+1}$

gilt. Wir behaupten, dass der von den $\{v_k\mid k\in \mathbb{N}\}$ erzeugte Untermodul von $E$ nicht endlich erzeugt ist, im Widerspruch zu Fakt. Andernfalls wäre er sogar von einem Element $v_k$ erzeugt. Dann wäre

$v_k=f{v}_{k+1}=fg{v}_k$

und somit

$(1-fg)v_k=0.$

Nach Voraussetzung ist aber $1-fg$ eine Einheit in $R$ und dann wäre  $v_k=0$  und damit

 $v=0$. 

Zur gelösten Aufgabe