Modul/Homomorphismen nach endlich erzeugten Ring auf 0/Untermodul/Nenneraufnahme/Aufgabe/Lösung

a) Offensichtlich ist  ${}0\in {\tilde {M}}$.  Wenn  ${}m\in {\tilde {M}}$  ist und  ${}r\in R$,  so ist für jeden Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow E$ in einen endlich erzeugten Modul ${}E$

${}\varphi (rm)=r\varphi (m)=r\cdot 0=0\,,$

also  ${}rm\in {\tilde {M}}$.  Wenn  ${}m_{1},m_{2}\in {\tilde {M}}$  ist, so ist für jeden Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow E$ in einen endlich erzeugten Modul ${}E$

${}\varphi (m_{1}+m_{2})=\varphi (m_{1})+\varphi (m_{2})=0+0=0\,,$

also  ${}rm_{1}+m_{2}\in {\tilde {M}}$. 

b) In diesem Fall zeigt die Identität ${}\varphi \colon M\rightarrow M$, dass außer der ${}0$ kein Element die Bedingung von ${}{\tilde {M}}$ erfüllt.

c) Wir zeigen, dass jeder Modulhomomorphismus

$\varphi \colon R_{f}\longrightarrow E$

mit ${}E$ endlich erzeugt die Nullabbildung ist. Sei

${}m={\frac {r}{f^{n}}}\,$

ein Element und

${}\varphi {\left({\frac {r}{f^{n}}}\right)}=v\neq 0\,$

angenommen. Für jedes  ${}k\in \mathbb {N}$  ist

${}{\left({\frac {r}{f^{n}}}\right)}=f^{k}{\left({\frac {r}{f^{n+k}}}\right)}\,$

und damit ist aufgrund der ${}R$-Linearität

${}v=\varphi {\left({\frac {r}{f^{n}}}\right)}=\varphi {\left(f^{k}{\frac {r}{f^{n+k}}}\right)}=f^{k}\varphi {\left({\frac {r}{f^{n+k}}}\right)}\,.$

Wir können also stets

${}v=f^{k}v_{k}\,$

mit  ${}v_{k}=\varphi {\left({\frac {r}{f^{n+k}}}\right)}\in E$  schreiben, wobei

${}v_{k}=fv_{k+1}\,$

gilt. Wir behaupten, dass der von den ${}{\left\{v_{k}\mid k\in \mathbb {N} \right\}}$ erzeugte Untermodul von ${}E$ nicht endlich erzeugt ist, im Widerspruch zu Fakt. Andernfalls wäre er sogar von einem Element ${}v_{k}$ erzeugt. Dann wäre

${}v_{k}=fv_{k+1}=fgv_{k}\,$

und somit

${}{\left(1-fg\right)}v_{k}=0\,.$

Nach Voraussetzung ist aber ${}1-fg$ eine Einheit in ${}R$ und dann wäre  ${}v_{k}=0$  und damit

 ${}v=0$. 

Zur gelösten Aufgabe