Modul/Injektive Auflösung/Einführung/Textabschnitt

Korollar

Zu einem ${}R$ -Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$

gibt es einen injektiven Modul ${}I$ mit ${}M\subseteq I$ .

Für die kommutative Gruppe ${}M$ gibt es nach Fakt eine divisible Gruppe ${}D$ und eine Einbettung ${}M\subseteq D$ . Nach Fakt ist ${}D$ ein injektiver ${}\mathbb {Z}$ -Modul. Nach Fakt ist dann auch der ${}R$ -Modul ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ injektiv. Es liegt ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&D&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,M\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

vor, wobei die vertikalen Abbildungen durch ${}v\mapsto (r\mapsto rv)$ gegeben sind. Alle Abbildungen sind injektiv. Die linke vertikale Abbildung und die untere horizontale Abbildung sind ${}R$ -Modulhomomorphismen, daher liegt insgesamt ein ${}R$ -Untermodul ${}M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ vor.

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Definition

Eine injektive Auflösung eines ${}R$ -Moduls ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ ist ein exakter Komplex

0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow I_{2}\longrightarrow \ldots

von ${}R$ -Moduln, wobei die ${}I_{n}$ , ${}n\geq 0$ , injektive Moduln sind.

Lemma

Ein ${}R$ -Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$

besitzt eine injektive Auflösung.

Beweis

Nach Fakt gibt es einen injektiven Modul ${}I_{0}$ mit ${}M\subseteq I_{0}$ . Für den Restklassenmodul ${}I_{0}/M$ gibt es entsprechend einen injektiven Modul ${}I_{1}$ mit ${}I_{0}/M\subseteq I_{1}$ , u.s.w.

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Lemma

Es seien ${}L$ und ${}M$ ${}R$ -Moduln über einem kommutativen Ring ${}R$ . Es sei

0\longrightarrow L\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots

ein exakter Komplex,

0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots

eine injektive Auflösung und

\varphi \colon L\longrightarrow M

ein ${}R$ -Modulhomomorphismus.

Dann gibt es ${}R$ -Modulhomomorphismen

$\varphi _{n}\colon L_{n}\longrightarrow I_{n},$

die mit den Homomorphismen in den Komplexen kommutieren.

Beweis

Die Existenz der kommutierenden Homomorphismen wird durch Induktion über ${}n$ bewiesen. Zum Homomorphismus ${}L\rightarrow M\subseteq I_{0}$ gibt es wegen ${}L\subseteq L_{0}$ und der Injektivität von ${}I_{0}$ einen kommutierenden Homomorphismus

\varphi _{0}\colon L_{0}\longrightarrow I_{0},

dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Existenz der Homomorphismen bis ${}\varphi _{n}$ bereits bewiesen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

{\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}

wobei der rechte vertikale Pfeil zu konstruieren ist. Es liegt eine Injektion

L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow L_{n+1}

vor, und wegen der Kommutativität wird ${}L_{n-1}$ insgesamt auf ${}0$ nach ${}I_{n+1}$ hinein abgebildet. Daher liegt ein Homomorphismus

L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow I_{n+1}

vor und dieser besitzt eine Fortsetzung nach ${}L_{n+1}$ .

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Im Allgemeinen gibt es in der vorstehenden Situation mehrere Homomomorphismen von Kettenkomplexen. Allerdings sind sie zueinander homotop.

Lemma

Es sei ${}M$ ein ${}R$ -Modul über einem kommutativen Ring ${}R$ . Es sei

0\longrightarrow M\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots

ein exakter Komplex und es sei

0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots

ein Komplex, wobei die Moduln ${}I_{n}$ injektiv seien. Es seien

\varphi ,\psi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }

Homomorphismen von Kettenkomplexen.

Dann sind ${}\varphi$ und ${}\psi$ homotop.

Beweis

Wir definieren induktiv die Homotopien

\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}

und legen

\Theta _{-1}\colon L_{0}\longrightarrow M=I_{-1}

als die Nullabbildung fest ( ${}M$ ist aber im Allgemeinen nicht injektiv). Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich ${}\Theta _{n-1}$ schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\downarrow &\Theta _{n-1}\swarrow &\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}

vor, und es gilt

{}\varphi _{n-1}-\psi _{n-1}=e_{n-1}\circ \Theta _{n-2}+\Theta _{n-1}\circ d_{n}\,.

Wir betrachten den Homomorphismus ${}\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ von ${}L_{n}$ nach ${}I_{n}$ . Für ${}x\in L_{n-1}$ gilt dabei

{}{\begin{aligned}{\left(\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-{\left(e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(\Theta _{n-1}(d_{n}(x)))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(-e_{n-1}(\Theta _{n-2}(x))+\varphi _{n-1}(x)-\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=0,\end{aligned}}

da ja die ${}\varphi$ als auch die ${}\psi$ mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass ${}\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ das Bild von ${}d_{n}$ auf ${}0$ abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus