Modul/Lineare Unabhängigkeit/Beliebige Indexmenge/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn für jede endliche Summe

${}\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}=0\,$

mit  ${}r_{i}\in R$  und  ${}J\subseteq I$  endlich gilt, dass alle  ${}r_{i}=0$. 

Wenn eine Familie nicht linear unabhängig ist, so nennt man sie linear abhängig. Man nennt übrigens eine Linearkombination  ${}\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0$  eine Darstellung des Nullvektors. Sie heißt die triviale Darstellung, wenn alle Koeffizienten ${}s_{i}$ gleich ${}0$ sind, andernfalls, wenn also mindestens ein Koeffizient nicht ${}0$ ist, spricht man von einer nichttrivialen Darstellung der Null. Eine Familie von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn man mit ihnen nur auf die triviale Art den Nullvektor darstellen kann.

Dineare Unabhängigkeit einer beliebigen Familie wird also auf den endlichen Fall zurückgeführt. Man beachte, dass es in einem Modul keine unendlichen Summen gibt, ein Ausdruck wie  ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }s_{n}v_{n}=0$  kann also von vornherein bei Untersuchungen zur linearen Unabhängigkeit keine Rolle spielen.

Beispiel

Die Standardvektoren im ${}R^{n}$ sind linear unabhängig. Eine Darstellung

${}\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}=0\,$

bedeutet ja einfach

${}s_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$

woraus sich aus der ${}i$-ten Zeile direkt  ${}s_{i}=0$  ergibt.

Bemerkung  

Die Vektoren ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}\in R^{m}$ sind genau dann linear abhängig, wenn das homogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

eine nichttriviale (d.h. von ${}0$ verschiedene) Lösung besitzt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul,  ${}R\neq 0$.  Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge  ${}J\subseteq I$  die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei  ${}R\neq 0$  ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Ein Element  ${}f\in R$  ist genau dann linear unabhängig, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
2. Zwei Elemente  ${}f,g\in R$  stets linear abhängig.

Beweis

1. Dies ist unmittelbar klar.
2. Dies folgt bei  ${}f,g\neq 0$  direkt aus

   ${}fg-gf=0\,.$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Familie ist genau dann linear abhängig, wenn man einen Vektor darin als Linearkombination der anderen ausdrücken kann.
2. Ein einzelner Vektor ${}v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn  ${}v\neq 0$  ist.
3. Zwei Vektoren ${}v$ und ${}u$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ${}u$ ein skalares Vielfaches von ${}v$ ist noch umgekehrt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$