Modul/Multiplikatives System/Paare/Äquivalenzrelation/Wohldefiniertheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die auf ${}M\times S$ definierte Überkreuzrelation ist eine Äquivalenzrelation.
2. Auf der Menge ${}M_{S}$ der Äquivalenzklassen

   ${}{\frac {m}{s}}:=[(m,s)]\,$

   ist durch

   ${}{\frac {m}{s}}+{\frac {\tilde {m}}{\tilde {s}}}:={\frac {{\tilde {s}}m+s{\tilde {m}}}{s{\tilde {s}}}}\,$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben.

3. Durch

   ${}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {m}{\tilde {s}}}:={\frac {rm}{s{\tilde {s}}}}\,$

   ist eine wohldefinierte Abbildung

   $R_{S}\times M_{S}\longrightarrow M_{S}$

   gegeben.

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