Modul/Summe von Untermoduln/Erzeugendensysteme/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Es sei eine Familie $U_{i} \subseteq M$ , $i \in I$ , von $R$ -Untermoduln derart gegeben, dass die Summe dieser Untermoduln gleich $M$ ist. Zu jedem $i \in I$ sei $v_{i j}$ , $j \in J_{i}$ ein Erzeugendensystem von $U_{i}$ .

Dann ist die Gesamtfamilie $v_{i j}$ , $i \in I$ , $j \in J_{i}$ , ein Erzeugendensystem von $M$ .