Modul/Summe von Untermoduln/Erzeugendensysteme/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei eine Familie  ${}U_{i}\subseteq M$,   ${}i\in I$,  von ${}R$-Untermoduln derart gegeben, dass die Summe dieser Untermoduln gleich ${}M$ ist. Zu jedem  ${}i\in I$  sei ${}v_{ij}$, ${}j\in J_{i}$ ein Erzeugendensystem von ${}U_{i}$.

Dann ist die Gesamtfamilie ${}v_{ij}$, ${}i\in I$, ${}j\in J_{i}$, ein Erzeugendensystem von ${}M$.

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