Modul/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition

Lineares Gleichungssystem

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a_{ij}\in R$  für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$. Dann nennt man

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Ein Tupel  ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in R^{n}$  heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn  ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$  für alle  ${}i=1,\ldots ,m$  ist.

Wenn  ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in R^{m}$  beliebig ist, so heißt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel  ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in R^{n}$  heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn  ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$  für alle ${}i$ ist.