Modul/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition

Lineares Gleichungssystem

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{i j} \in R$ für $1 \leq i \leq m$ und $1 \leq j \leq n$ . Dann nennt man

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{matrix}

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen $x_{1}, \dots, x_{n}$ . Ein Tupel $(ξ_{1}, \dots, ξ_{n}) \in R^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn $\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} ξ_{j} = 0$ für alle $i = 1, \dots, m$ ist.

Wenn $(c_{1}, \dots, c_{m}) \in R^{m}$ beliebig ist, so heißt

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = & c_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = & c_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = & c_{m} \end{matrix}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel $(ζ_{1}, \dots, ζ_{n}) \in R^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn $\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} ζ_{j} = c_{i}$ für alle $i$ ist.