Modul/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmodul/Untermodul/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über $R$.

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein $R$-Untermodul des $R^n$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

$▾$ Körper

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen