Modul/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmodul/Untermodul/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}R$.

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein ${}R$-Untermodul des ${}R^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

${}\blacktriangledown$ Körper

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen