Modultheorie/Hauptidealbereiche/Direkte Summe zyklischer Moduln/Eindeutigkeit bis auf Isomorphie/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von der Zerlegung ${}M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ aus. Jedes ${}M_{i},i\in I$, ist als zyklischer Modul entweder Torsionsmodul oder torsionsfrei.

Die torsionsfreien zyklischen Komponenten sind jeweils isomorph zu ${}R$. Weil es in ${}M$ tatsächlich ${}\operatorname {rang} M$ linear unabhängige Elemente gibt, aber nicht mehr, muss es auch ${}\operatorname {rang} M$ solche Komponenten geben. Wir fassen sie zusammen als ${}R^{(\operatorname {rang} M)}$.

Die zyklischen Torsionsmoduln lassen sich nach Fakt darstellen als direkte Summe ihrer Primärkomponenten. Diese Primärmoduln sind als Untermoduln eines zyklischen Moduls zyklisch und damit isomorph zu ${}R/Rp^{n}$ für ein Primelement ${}p\in R$ und ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es kommt daher nur noch auf die Anzahl dieser Primärmoduln an, wobei die zu überprüfende Behauptung ist, dass die ${}n$-te Ulmsche ${}p$-Invariante ${}\operatorname {u} (n,p)$ die Anzahl des Vorkommens des Raumes ${}R/Rp^{n}$ in der direkten Summe ist.

Dazu betrachten wir die Ulmschen Invarianten eben dieser Räume ${}R/Rp^{n}$ für sich genommen. Es sei ${}q\in P,m\in \mathbb {N}$. Zur Berechnung der ${}m$-ten Ulmschen Invarianten von ${}R/Rp^{n}$ zum Primelement ${}q$ müssen wir nach Definition jeweils die Quotientenräume von ${}(q^{m-1}(R/Rp^{n}))^{1}(q)$ nach ${}(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)$ betrachten. Es gilt:

$(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)={\left\{[q^{m}x]\mid [x]\in R/Rp^{n},[q^{m+1}x]=0\right\}}.$

Dies bedeutet zum Einen ${}(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)=0$ für ${}q\neq p$ und ${}m\in \mathbb {N}$ beliebig, weil ${}p$ und ${}q$ teilerfremd sind und es daher außer ${}0$ keine Elemente in ${}R/Rp^{n}$ gibt mit ${}[q^{m+1}x]=0$. Daher gilt für ${}R/Rp^{n}$ auch ${}\operatorname {u} (m,q)=0$ für alle ${}m\in \mathbb {N} _{+}$.

Zum Anderen bedeutet es bei ${}q=p$ und ${}m<n$

$(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)=Rp^{m}/Rp^{m+1}\cong R/Rp$

und für ${}m\geq n$ gilt ${}(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)=0$ wegen ${}[p^{n}x]=0$.

Weil für die Ulmschen Invarianten jeweils die Dimension der Restklassenräume von ${}q$-Sockeln für auf einander folgende ${}m$ betrachtet werden, gelten insgesamt beim Raum ${}R/Rp^{n}$ für ${}q=p$ und ${}m\in \mathbb {N} _{+}$:

$\operatorname {u} (m,q)={\begin{cases}\operatorname {dim} _{R/Rp}(R/Rp)/(R/Rp)=0,\,{\text{ falls }}m<n\,,\\\operatorname {dim} _{R/Rp}(R/Rp)/(0)=1,\,{\text{ falls }}m=n\,,\\\operatorname {dim} _{R/Rp}(0)/(0)=0,\,{\text{ falls }}m>n\,.\end{cases}}.$

Bei der Bildung der direkten Summe nun addieren sich auch die Ulmschen Invarianten der Summanden und bilden als Summe die Ulmschen Invarianten der direkten Summe, weil sich auch die Sockel addieren. Daraus folgt direkt, dass die Ulmschen Invarianten ${}\operatorname {u} (n,p)$ die Anzahlen des Vorkommens der Räume ${}R/Rp^{n}$ in der direkten Summe beschreiben.

Zur bewiesenen Aussage