Modultheorie (kommutative Algebra)/Beispiele/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M = (M, +, 0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt $M$ einen $R$ -Modul, wenn eine Operation

R \times M ⟶ M, (r, v) ⟼ r v = r \cdot v,

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r, s \in R$ und $u, v \in M$ beliebig):

$r (s u) = (r s) u$ ,
$r (u + v) = (r u) + (r v)$ ,
$(r + s) u = (r u) + (s u)$ ,
$1 u = u$ .

Ein kommutativer Ring $R$ selbst ist in natürlicher Weise ein $R$ -Modul, wenn man die Ringmultiplikation als Skalarmultiplikation interpretiert.

Es gibt zu jedem kommutativen Ring $R$ einen Modul, der nur aus einem Element besteht: Die triviale Gruppe mit der einzig möglichen Art diese als $R$ -Modul aufzufassen. Man nennt ihn den Nullmodul.

Beispiel

Jede kommutative Gruppe $G$ ist auf natürliche Weise ein $ℤ$ -Modul.

Die Skalarmultiplikation ist folgendermaßen definiert:

ℤ \times G ⟶ G, (z, g) ⟼ z g .

Daher ist ein Erzeugendensystem von $G$ als Gruppe auch ein Erzeugendensystem von $G$ als $ℤ$ -Modul und umgekehrt.

Da jeder Modul als Grundmenge definitionsgemäß eine kommutative Gruppe besitzt und alle Vektorräume über Körpern insbesondere Moduln sind, zeigt uns dieses Beispiel unter Anderem, dass es im Allgemeinen viele Möglichkeiten gibt, eine gegebene Gruppe als Grundmenge eines Moduls zu interpretieren.

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Das Produkt $R^{n}$ ist in natürlicher Weise ein Modul. Er besteht aus den $n$ -Tupeln von Elementen aus $R$ :

(r_{1}, \dots, r_{n}) .

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

(a_{1}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, \dots, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n})

und

s (a_{1}, \dots, a_{n}) = (s a_{1}, \dots, s a_{n}) .

Die Elemente der Form

e_{i} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)

mit der $1$ an der $i$ -ten Stelle nennt man den $i$ -ten Standardvektor.

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I$ eine beliebige Menge. Wir betrachten die Menge der Abbildungen von $I$ nach $R$ , also

M = {φ ∣ φ : I \to R Abbildung} .

Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition, bei der also die Summe von zwei Abbildungen $φ$ und $ψ$ durch

(φ + ψ) (i) := φ (i) + ψ (i)

für jedes $i \in I$ erklärt wird, und mit der durch

(r φ) (i) := r φ (i)

definierten Skalarmultiplikation ein $R$ -Modul.

Definition

Es sei $R$ ein Ring und $I$ und $J$ zwei Indexmengen. Eine $I \times J$ -Matrix ist eine Abbildung

I \times J ⟶ R, (i, j) ⟼ a_{i j} .

Bei $I = {1, \dots, m}$ und $J = {1, \dots, n}$ spricht man von einer $m \times n$ -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) .

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Dann gelten die folgenden Eigenschaften (dabei sei $v \in M$ und $s \in R$ ).

Es ist $0 v = 0$ .

Es ist $s 0 = 0$ .

Es ist $(- 1) v = - v$ .

Beweis

Es ist
$0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v .$

Beidseitiges Abziehen von $0 v$ ergibt $0 = 0 v$ .
Ähnlich wie (2).
Nach Teil (1) ist
$0 = 0 v = (1 - 1) v = v + (- 1) v,$

also sind $v$ und $(- 1) v$ negativ zueinander.

◻

Definition

Einen Modul $V$ über einem Körper $K$ nennt man einen $K$ -Vektorraum.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M_{i}, i \in I$ , eine Familie von $R$ -Moduln. Das Produkt

M = \prod_{i \in I} M_{i} = {(x_{i})_{i \in I} ∣ x_{i} \in M_{i} für alle i \in I}

der Moduln wird mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation zum $R$ -Modul. Das bedeutet für $(x_{i})_{i \in I}, (y_{i})_{i \in I} \in M$ und $r \in R$

(x_{i})_{i \in I} + (y_{i})_{i \in I} = (x_{i} + y_{i})_{i \in I}

und

s (x_{i})_{i \in I} = (s x_{i})_{i \in I} .

$M$ heißt dann das direkte Produkt der $M_{i}, i \in I$ . Das $I$ -fache direkte Produkt eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als $M^{I}$ geschrieben.

Der Untermodul

⨁_{i \in I} M_{i} \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

der aus allen $(x_{i})_{i \in I}$ besteht, für die $x_{i} = 0$ für fast alle $i \in I$ ist, heißt direkte Summe der $M_{i}$ .

Die $I$ -fache direkte Summe eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als $M^{(I)}$ geschrieben.