Monoid/Kern von Graduierung/D endlich/Homomorphismen/Dualgruppe/Fakt

Es sei ${}D$ eine kommutative endliche Gruppe und ${}\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei  ${}G=D^{\vee }$  die Charaktergruppe. Es sei ${}\Gamma$ der Kern von ${}\delta$ und es sei  ${}m\in \mathbb {N} _{+}$  derart, dass  ${}m\mathbb {Z} ^{n}\subseteq \Gamma$  ist.

Dann induziert die Zuordnung

$F\colon \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)\longrightarrow \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},{\mathbb {C} }^{\times }\right),\,\gamma \longmapsto F(\gamma )={\left(e_{j}\mapsto e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (me_{j})}{m}}\right)},$

einen Gruppenisomorphismus

$\operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} \left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)\longrightarrow G.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen