Monoid/Kern von Graduierung/D endlich/Homomorphismen/Dualgruppe/Fakt

Es sei $D$ eine kommutative endliche Gruppe und $\delta :{\mathbb{Z}}^n\to D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei  $G=D^{\vee }$  die Charaktergruppe. Es sei $\Gamma$ der Kern von $\delta$ und es sei  $m\in {\mathbb{N}}_{+}$  derart, dass  $m{\mathbb{Z}}^n\subseteq \Gamma$  ist.

Dann induziert die Zuordnung

$F:\mathrm{Hom}(\Gamma ,\mathbb{Z})⟶\mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^n,{ℂ}^{\times }),\gamma ⟼F(\gamma )=(e_j\mapsto e^{\frac{2\pi \mathrm{i}\gamma (m{e}_j)}{m}}),$

einen Gruppenisomorphismus

$\mathrm{Hom}(\Gamma ,\mathbb{Z})/\mathrm{bild}(\mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^n,\mathbb{Z}))⟶G.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen