Monoid/Kern von Graduierung/D endlich/Homomorphismen/Dualgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ${}F$ ist wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung ${}F(\gamma )$ ist auf der Untergruppe  ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$  trivial. Für  ${}u\in \Gamma$  ist ja  ${}\gamma (mu)=m\gamma (u)$  und somit ist

${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (mu)}{m}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }m\gamma (u)}{m}}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\gamma (u)}=1\,.$

Daher ist ${}F(\gamma )$ in natürlicher Weise ein Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} ^{n}/\Gamma \cong D\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },$

also ein Charakter auf ${}D$. Zur Bestimmung des Kerns von ${}F$ sei zunächst ${}\gamma$ die Einschränkung eines Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\gamma }}\colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z}$

auf  ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$.  Doch dann ist natürlich  ${}\gamma (me_{j})=m{\tilde {\gamma }}(e_{j})$  für die Basis ${}e_{j}$ von ${}\mathbb {Z} ^{r}$ und somit ist der zugehörige Charakter trivial. Wenn umgekehrt der zugehörige Charakter trivial ist, so muss  ${}{\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\in \mathbb {Z}$  für jedes ${}e_{j}$ gelten. Doch dann ist durch

${}{\tilde {\gamma }}(e_{j}):={\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\,$

eine Fortsetzung von ${}\gamma$ nach ${}\mathbb {Z} ^{n}$ gegeben. Es liegt also ein injektiver Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} {\left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)}\longrightarrow G$

vor. Die Surjektivität folgt aus Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage