Monoid/Kern von Graduierung/D endlich/Homomorphismen/Dualgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung $F$ ist wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung $F(\gamma )$ ist auf der Untergruppe  $\mathrm{\Gamma }\subseteq {\mathbb{Z}}^n$  trivial. Für  $u\in \mathrm{\Gamma }$  ist ja  $\gamma (mu)=m\gamma (u)$  und somit ist

$e^{\frac{2\pi \mathrm{i}\gamma (mu)}{m}}=e^{\frac{2\pi \mathrm{i}m\gamma (u)}{m}}=e^{2\pi \mathrm{i}\gamma (u)}=1.$

Daher ist $F(\gamma )$ in natürlicher Weise ein Gruppenhomomorphismus

${\mathbb{Z}}^n/\mathrm{\Gamma }\cong D⟶{ℂ}^{\times },$

also ein Charakter auf $D$. Zur Bestimmung des Kerns von $F$ sei zunächst $\gamma$ die Einschränkung eines Gruppenhomomorphismus

$\tilde{\gamma }:{\mathbb{Z}}^n⟶\mathbb{Z}$

auf  $\mathrm{\Gamma }\subseteq {\mathbb{Z}}^n$.  Doch dann ist natürlich  $\gamma (m{e}_j)=m\tilde{\gamma }(e_j)$  für die Basis $e_j$ von ${\mathbb{Z}}^r$ und somit ist der zugehörige Charakter trivial. Wenn umgekehrt der zugehörige Charakter trivial ist, so muss  $\frac{\gamma (m{e}_j)}{m}\in \mathbb{Z}$  für jedes $e_j$ gelten. Doch dann ist durch

$\tilde{\gamma }(e_j):=\frac{\gamma (m{e}_j)}{m}$

eine Fortsetzung von $\gamma$ nach ${\mathbb{Z}}^n$ gegeben. Es liegt also ein injektiver Gruppenhomomorphismus

$\mathrm{Hom}(\mathrm{\Gamma },\mathbb{Z})/\mathrm{bild}(\mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^n,\mathbb{Z}))⟶G$

vor. Die Surjektivität folgt aus Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage