Monoid/Potenzen/Gesetze/Textabschnitt

Es sei ${}(M,\cdot ,1)$ ein multiplikativ geschriebenes Monoid. Zu  ${}a\in M$  und eine positive natürliche Zahl  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  setzt man

${}a^{n}:=\underbrace {a\cdots a} _{n-{\text{fach}}}\,$

und nennt dies die ${}n$-te Potenz von ${}a$. Weiter setzen wir

${}a^{0}:=1\,.$

Man beachte, dass bei der Potenz ${}a^{n}$ die Basis ${}a$ aus dem Monoid und der Exponent ${}n$ eine natürliche Zahl ist. Der Ausdruck ${}a^{b}$ mit ${}a,b$ aus dem Monoid hat im Allgemeinen keine Bedeutung.

Wie für die natürlichen Zahlen (siehe Fakt) gelten in jedem (kommutativen) Monoid die folgenden Potenzgesetze.

Lemma

Es sei ${}M$ ein Monoid,  ${}a,b\in M$  und  ${}m,n\in \mathbb {N}$.  Dann gelten die folgenden Potenzgesetze.

1. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

2. ${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$

3. Wenn ${}M$ kommutativ ist, so ist

   ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Wenn das Monoid additiv geschrieben wird, so schreibt man ${}na$ für die ${}n$-fache Summe von ${}a$ mit sich selbst und spricht von Vielfachen statt von Potenzen. Es gelten dann die entsprechenden Vielfachgesetze, nämlich

${}(m+n)a=ma+na\,,$

${}n(ma)=(nm)a\,,$

${}n(a+b)=na+nb\,.$