Monoidring/A 1/Tangentiales Schema/Beispiel

Wir betrachten auf ${}K[U,V]$ die ${}\mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der beide Variablen den Grad ${}1$ bekommen (bzw. die entsprechende Gruppenoperation) mit dem Invariantenring ${}K[U^{2},V^{2},UV]$, was dem Ring ${}K[X,Y,Z]/\left(XY-Z^{2}\right)$ entspricht. Die Wirkungsweise auf dem Tangentialbündel der affinen Ebene ist ebenfalls durch die Graduierung gegeben, der Invariantenring ist

$K[W_{ij},i\leq j]$

mit den Gleichungen der Form  ${}W_{ij}W_{rs}=W_{ir}W_{js}$.  Das ist der Veronesering zu vier Variablen (${}U,V,dU,dV$) im Grad ${}2$. Die Differentiale der Variablen der Restklassenbeschreibung sind

${}dX=dU^{2}=2UdU=2W_{13}\,,$

${}dY=dV^{2}=2VdV=2W_{24}\,,$

${}dZ=dUV=UdV+VdU=W_{14}+W_{23}\,.$

Die definierende lineare Beziehung zwischen den Differentialen ist

${}{\begin{aligned}d(XY-Z^{2})&=XdY+YdX-2ZdZ\\&=2W_{11}W_{24}+2W_{22}W_{13}-2W_{12}\left(W_{14}+W_{23}\right).\end{aligned}}$

Die fehlenden Variablen kann man als Differentialformen über der offenen Menge ${}D(X,Y)$ folgendermaßen erhalten. Es ist

${}W_{14}={\frac {W_{12}W_{24}}{W_{22}}}\,,$

${}W_{23}={\frac {W_{12}W_{13}}{W_{11}}}\,$

und

${}W_{23}=\left(W_{14}+W_{23}\right)-W_{14}=\left(W_{14}+W_{23}\right)-{\frac {W_{12}W_{24}}{W_{22}}}\,.$

Damit ergeben sich in der zweiten symmetrischen Stufe

${}W_{33}={\frac {W_{13}^{2}}{W_{11}}}={\frac {W_{23}^{2}}{W_{22}}}\,,$

${}W_{44}={\frac {W_{14}^{2}}{W_{11}}}={\frac {W_{24}^{2}}{W_{22}}}\,$

und

${}W_{34}={\frac {W_{13}W_{14}}{W_{11}}}={\frac {W_{23}W_{24}}{W_{22}}}\,.$

Die zentrale Faser für

$K[W_{11},W_{22},W_{12}]\longrightarrow K[W_{ij},i\leq j]$

ist

$K[W_{13},W_{14},W_{23},W_{24},W_{33},W_{34},W_{44}]/\left(W_{33}W_{44}-W_{34}^{2},W_{13}^{2},W_{23}^{2},W_{14}^{2},W_{24}^{2}\right).$

Die Reduktion davon ist isomorph zum Invariantenring.