Monoidring/N^r/Körperelemente/Einsetzung/Aufgabe/Lösung

Ein ${}n$-Tupel ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ aus ${}K^{n}$ definiert den Monoidhomomorphismus

$\mathbb {N} ^{n}\longrightarrow K,$

bei dem ${}e_{i}$ auf ${}a_{i}$ abgebildet wird, also die Abbildung

$\left(d_{1},\,\ldots ,\,d_{n}\right)\mapsto a_{1}^{d_{1}}\cdots a_{n}^{d_{n}}.$

Als Werte an den ${}e_{i}$ ist daraus das Ausgangstupel rekonstruierbar. Das Tupel definiert wiederum den ${}K$-Algebrahomomorphismus

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=K\,$

durch ${}X_{i}\mapsto a_{i}$, woraus ebenfalls das Tupel rekonstruierbar ist. Aufgrund der Funktorialität des ${}K$-Spektrums ist dies das gleiche wie eine Spektrumsabbildung

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K\right)}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Zur gelösten Aufgabe