Monoidringe/Tensorprodukt/Aufgabe/Lösung

Der Monoidring ${}R[M]$ besitzt die ${}R$-Basis ${}T^{m}$, ${}m\in M$. Das Tensorprodukt von freien Moduln besitzt die Tensorkombinationen der beiden Bases als Basis. Daher ist ${}T^{(m,n)}$, ${}(m,n)\in M\times N$, eine Basis von ${}R[M\times N]$ und ${}T^{m}\otimes T^{n}$, ${}m\in M,n\in N$ ist eine Basis von ${}R[M]\otimes R[N]$. Somit ist durch die Zuordnung auf den Basen

$T^{(m,n)}\longleftrightarrow T^{m}\otimes T^{n}$

direkt ein ${}R$-Modulisomorphismus gegeben. Dabei entspricht

${}T^{(0,0)}=1\,$

dem Element

${}T^{0}\otimes T^{0}=1\otimes 1=1\,.$

Ferner entspricht

${}T^{(m_{1},n_{1})}\cdot T^{(m_{2},n_{2})}=T^{(m_{1}+m_{2},n_{1}+n_{2})}\,$

den Element

${}T^{m_{1}}\otimes T^{n_{1}}\cdot T^{m_{2}}\otimes T^{n_{2}}={\left(T^{m_{1}}\cdot T^{m_{2}}\right)}\otimes {\left(T^{n_{1}}\cdot T^{n_{2}}\right)}=T^{m_{1}+m_{2}}\otimes T^{n_{1}+n_{2}}\,,$

die Zuordnung respektiert also auch die Multiplikation.

Zur gelösten Aufgabe