Monomanzahl/Polynom/Symmetrie/Hyperfläche/Aufgabe

Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten das Polynom

${}P_{m}(X)={\frac {(X+1)(X+2)\cdots (X+m-1)}{(m-1)!}}\,.$

a) Zeige

${}P_{m}(-X-m)=(-1)^{m-1}P_{m}(X)\,.$

b) Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{+}$, wir setzen (${}m$ ist nach wie vor fixiert)

${}Q_{d}(X)=P_{m}(X)-P_{m}(X-d)\,.$

Zeige

${}Q_{d}(-X-m+d)=(-1)^{m-2}Q_{d}(X)\,.$

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