Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1}, \dots, V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Es sei

Φ : V_{1} \times \dots \times V_{n} ⟶ W

eine multilineare Abbildung und es seien $v_{i 1}, \dots, v_{i m_{i}} \in V_{i}$ und $a_{i j_{i}} \in K$ zu $i = 1, \dots, n$ und $j_{i} = 1, \dots, m_{i}$ . Zeige

\begin{matrix} Φ (\sum_{j = 1}^{m_{1}} a_{1 j} v_{1 j}, \dots, \sum_{j = 1}^{m_{n}} a_{n j} v_{n j}) & = \sum_{(j_{1}, \dots, j_{n}) \in {1, \dots, m_{1}} \times \dots \times {1, \dots, m_{n}}} a_{1 j_{1}} \dots a_{n j_{n}} Φ (v_{1 j_{1}}, \dots, v_{n j_{n}}) . \end{matrix}

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