Multilineare Abbildung/Kommutativer Ring/Distributivgesetz/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Moduln über ${}R$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien  ${}v_{i1},\ldots ,v_{im_{i}}\in V_{i}$  und  ${}a_{ij_{i}}\in R$  zu  ${}i=1,\ldots ,n$  und  ${}j_{i}=1,\ldots ,m_{i}$. 

Dann ist

$\Phi {\left(\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}v_{1j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},\ldots ,v_{nj_{n}}\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen