Multiplikative Gruppe/Lineare Untergruppe/Aufgabe/Lösung
Die Gruppe selbst ist eine lineare Untergruppe. Jede echte lineare Untergruppe wird durch zumindest eine polynomiale Gleichung in einer Variablen beschrieben und besitzt daher nach Fakt nur endlich viele Elemente. Umgekehrt kann jede endliche Teilmenge als die Nullstellenmenge eines Polynoms beschrieben werden. Daher geht es um die endlichen Untergruppen der multiplikativen Gruppe. besitze Elemente. Dann gilt für jedes nach dem Satz von Lagrange die Bedingung , d.h. ist eine -te Einheitswurzel. Die polynomiale Gleichung
besitzt also im vorliegenden Fall genau Lösungen, und die Gruppe ist die -elementige Gruppe der -ten Einheitswurzeln.
