Multiplikative Gruppe/R/Nicht algebraisch/Keine Zerlegung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die nichtalgebraische Darstellung

$\mathbb {R} ^{\times }\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,z\longmapsto {\begin{pmatrix}1&\ln \vert {z}\vert \\0&1\end{pmatrix}}.$

Dies ist ein Gruppenhomomorphismus, da er sich in der Form

${\left(\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot \right)}{\stackrel {\vert {-}\vert }{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} _{+},1,\cdot \right)}{\stackrel {\ln \left(-\right)}{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ,0,+\right)}{\stackrel {u\mapsto {\begin{pmatrix}1&u\\0&1\end{pmatrix}}}{\longrightarrow }}\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

zusammensetzt. Der Untervektorraum ${}\mathbb {R} e_{1}$ ist invariant unter der Operation, die dort die identische Operation induziert. Die Operation ist also nicht irreduzibel. Aus der Bedingung

${}{\begin{pmatrix}1&\ln \vert {z}\vert \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+{\left(\ln \vert {z}\vert \right)}y\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {!}{=}}\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit  ${}y\neq 0$  folgt direkt  ${}\lambda =1$, 

was keine Lösung besitzt. Es gibt also außer ${}\mathbb {R} e_{1}$ keinen weiteren Eigenraum und damit auch keinen weiteren eindimensionalen invarianten Untervektorraum. Daher kann die Darstellung nicht als direkte Summe von einfacheren Darstellungen geschrieben werden.

Zur gelösten Aufgabe