Multiplikatives System/Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Auf der Produktmenge nennt man die durch

falls es ein mit gibt, die durch das multiplikative System gegebene Überkreuzrelation.



Lemma

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System.

Dann ist die Überkreuzrelation auf der Produktmenge eine Äquivalenzrelation. Für die Äquivalenzklassen ist durch

eine wohldefinierte Addition und durch

eine wohldefinierte Multiplikation gegeben, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Dann versteht man unter der Nenneraufnahme zu die Quotientenmenge zur Überkreuzrelation auf mit den in Fakt beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit bezeichnet.

Für die Nenneraufnahme an dem von einem Element erzeugten multiplikativen System schreibt man einfach statt . Die Elemente aus dem multiplikativen System werden in zu Einheiten, und zwar ist das Inverse zu . Die Nenneraufnahme an in einem Integritätsbereich spielt eine besondere Rolle. Dort werden sämtliche Elemente zu Einheiten und es entsteht somit ein Körper.


Definition  

Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.



Lemma  

Es seien und kommutative Ringe und sei ein multiplikatives System. Es sei

ein Ringhomomorphismus derart, dass eine Einheit in für alle ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

der fortsetzt.

Beweis  

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss für und damit sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss.

Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei mit . Dies bedeutet, dass es ein mit gibt. Dann ist auch

und durch Multiplizieren mit der Einheit folgt

Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist