Multiplikatives System/Nenneraufnahme/Normal/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Sei ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

  1. Wenn , dann ist auch

gelten.

Es handelt sich also einfach um ein Untermonoid des multiplikativen Monoids eines Ringes.


Beispiel  

Sei ein kommutativer Ring und ein Element. Dann bilden die Potenzen , , ein multiplikatives System.



Beispiel  

Sei ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von verschiedenen Elemente in ein multiplikatives System, das mit bezeichnet wird.



Beispiel  

Sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Dann ist das Komplement ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.



Definition  

Sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, . Dann nennt man den Unterring

die Nenneraufnahme zu .

Für die Nenneraufnahme an einem Element schreibt man einfach statt . Man kann eine Nenneraufnahme auch dann definieren, wenn kein Integritätsbereich ist, siehe Aufgabe.


Definition  

Sei ein Integritätsbereich und sei ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an die Lokalisierung von an . Man schreibt dafür . Es ist also

Für eine Primzahl besteht aus allen rationalen Zahlen, die man ohne im Nenner schreiben kann.


Definition  

Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.

Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn ergibt.



Satz  

Sei ein Integritätsbereich und sei ein Primideal in . Dann ist die Lokalisierung ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

Beweis  

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung

Wir zeigen, dass das Komplement von nur aus Einheiten besteht, so dass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Sei also , aber nicht in . Dann sind und somit gehört der inverse Bruch ebenfalls zur Lokalisierung.


Das Ideal ist dabei das Erweiterungsideal zu unter dem Ringhomomorphismus .



Satz  

Sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper .

Dann gilt

wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in genommen wird.

Beweis  

Die Inklusion ist klar. Sei also und sei angenommen, gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ist also , d.h. es gibt und mit . Wir betrachten das Ideal

Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorn das Einheitsideal sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale , und mit

wobei gesetzt wurde. Damit ist

Wir schreiben

Also gehört zu .



Satz

Sei ein normaler Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System.

Dann ist auch die Nenneraufnahme normal.

Beweis

Siehe Aufgabe.