Natürliche Zahlen/Ordnung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Man sagt, dass eine natürliche Zahl ${}n$ größergleich einer natürlichen Zahl ${}k$ ist, geschrieben

${}n\geq k\,,$

wenn man von ${}k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu ${}n$ gelangt.

Auf dem nach rechts verlaufenden Zahlenstrahl bedeutet ${}n\geq k$, dass sich ${}n$ weiter rechts als ${}k$ befindet. Diese Intepretation gilt für alle reellen Zahlen.

Statt  ${}n\geq k$  schreibt man auch  ${}k\leq n$  (gesprochen kleinergleich). Die Schreibweise  ${}n>k$  bedeutet  ${}n\geq k$  und  ${}n\neq k$. 

Lemma

Für natürliche Zahlen ${}n,k$ gilt

${}n\geq k\,$

genau dann, wenn es ein  ${}m\in \mathbb {N}$  mit

${}n=k+m\,$

gibt.

Beweis

Die Zahl ${}m$ gibt an, wie oft man von ${}k$ aus den Nachfolger nehmen muss, um zu ${}n$ zu gelangen.

$\Box$

Lemma

Für die Größergleich-Relation in den natürlichen Zahlen gelten die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}a\geq 0\,$

   für alle  ${}a\in \mathbb {N}$. 

2. Es ist

   ${}a=0\,$

   oder

   ${}a\geq 1\,.$

3. Bei

   ${}a\geq b\,$

   gilt

   ${}a=b\,$

   oder

   ${}a\geq b+1\,.$

Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung aus Fakt.

1. Ist klar wegen  ${}a=0+a$. 
2. Wir zeigen die Aussage  ${}a=0$  oder  ${}a\geq 1$  für alle  ${}a\in \mathbb {N}$  durch Induktion über ${}a$. Für  ${}a=0$  ist die Aussage klar. Es sei also angenommen, dass die Aussage für ein bestimmtes ${}a$ gelte. Dann ist  ${}a=0$  oder  ${}a\geq 1$.  Im ersten Fall ist dann  ${}1+a=1+0=1$  und insbesondere  ${}1+a\geq 1$.  Im zweiten Fall ist  ${}a=b+1$  mit einem  ${}b\in \mathbb {N}$  und damit  ${}a+1=(b+1)+1=1+(b+1)$. 
3. Wird ähnlich wie (2) bewiesen, siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Auf den natürlichen Zahlen

ist durch die Größergleich-Relation ${}\geq$ eine totale Ordnung definiert.

Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen  ${}n=n+0$  ist  ${}n\geq n$.  Wenn  ${}k\geq \ell$  und  ${}\ell \geq m$  ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen ${}a,b$ mit  ${}k=\ell +a$  und  ${}\ell =m+b$  gibt. Dann gilt insgesamt

${}k=\ell +a=(m+b)+a=m+(b+a)\,$

und somit ist auch  ${}k\geq m$.  Aus  ${}k\geq \ell$  und  ${}\ell \geq k$  ergibt sich  ${}k=\ell +a$  und  ${}\ell =k+b$  und somit  ${}k=k+(a+b)$.  Dies ist nach der Abziehregel nur bei  ${}a+b=0$  möglich, und dies ist wiederum, da ${}0$ kein Nachfolger ist, nur bei  ${}a=b=0$  möglich. Die Aussage  ${}a\geq b$  oder  ${}b\geq a$  beweisen wir durch Induktion über ${}a$ (für jedes feste ${}b$), wobei der Induktionsanfang wegen  ${}b\geq 0$  klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes ${}a$. Wenn die erste Möglichkeit gilt, also  ${}a\geq b$,  so gilt wegen

${}a+1>a\geq b\,$

erst recht  ${}a+1\geq b$.  Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also  ${}a\leq b$,  so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei  ${}a=b$  ist  ${}a+1\geq b$  und die Gesamtaussage gilt für ${}a+1$. Andernfalls ist  ${}a<b$  und somit ist nach Fakt  (3)  ${}a+1\leq b$  und die Gesamtaussage gilt erneut.

$\Box$

Wir begründen nun, dass die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist.

Satz

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}a\geq b\,$

   genau dann, wenn

   ${}a+c\geq b+c\,$

   ist.

2. Aus

   ${}a\geq b\,$

   und

   ${}c\geq d\,$

   folgt

   ${}a+c\geq b+d\,.$

3. Aus

   ${}a\geq b\,$

   folgt

   ${}ca\geq cb\,.$

4. Aus

   ${}a\geq b\,$

   und

   ${}c\geq d\,$

   folgt

   ${}ac\geq bd\,.$

5. Aus

   ${}c\geq 1\,$

   und

   ${}ca\geq cb\,.$

   folgt

   ${}a\geq b\,.$

Beweis

1. Wir beweisen die Aussagen mit Fakt. Nach Voraussetzung gibt es ein  ${}m\in \mathbb {N}$  mit  ${}a=b+m$.  Dann ist auch  ${}a=b+m$.   ${}a+c=b+m+c=b+c+m$,  was  ${}a+c\geq b+c$  bedeutet.
2. Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert

   ${}a+c\geq b+c\geq b+d\,,$

   sodass die Transitivität den Schluss ergibt.

3. Die Voraussetzung bedeutet wieder  ${}a=b+m$  mit einem  ${}m\in \mathbb {N}$.  Dann ist mit dem Distributivgesetz

   ${}ca=c(b+m)=cb+cm\,,$

   also  ${}ca\geq cm$. 

4. Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich

   ${}ac\geq bc\geq bd\,.$

5. Sei  ${}c\geq 1$.  Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung  ${}b>a$  die Größerbeziehung  ${}bc>ac$  folgt. Es sei also  ${}b>a$.  Dann ist  ${}b\geq a+1$  und somit ist nach Teil (3) und Teil (2)

   ${}bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,$

   also  ${}bc>ac$. 

$\Box$