Natürliche Zahlen/Teilmenge/Arithmetische Progressionen beliebiger Länge/Kehrwertkonvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten

${}T=\{10,100,101,1000,1001,1002,10000,10001,10002,10003,\ldots \}\,.$

Diese Menge enthält die arithmetischen Progressionen

$10^{k},10^{k}+1,10^{k}+2,\ldots ,10^{k}+k-1$

der Länge ${}k$ und damit beliebig lange arithmetische Progressionen. Für einen solchen Strang gilt

${}{\frac {1}{10^{k}}}+{\frac {1}{10^{k}+1}}+\cdots +{\frac {1}{10^{k}+k-1}}\leq k{\frac {1}{10^{k}}}\,.$

Die Summe der Kehrwerte aus ${}T$ kann man daher durch die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {1}{10^{k}}}$

nach oben abschätzen. Der Quotient von zwei aufeinander folgenden Reihengliedern ist

${}{\frac {{\left(k+1\right)}{\frac {1}{10^{k+1}}}}{k{\frac {1}{10^{k}}}}}={\frac {k+1}{10k}}\,,$

was gegen ${}0$ konvergiert. Daher konvergiert diese Reihe nach dem Quotientenkriterium

und daher konvergiert auch die Ausgangsreihe.

Zur gelösten Aufgabe