Natürliche Zahlen/Teilmenge/Arithmetische Progressionen beliebiger Länge/Kehrwertkonvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten

$T=\{10,100,101,1000,1001,1002,10000,10001,10002,10003,\dots \}.$

Diese Menge enthält die arithmetischen Progressionen

$10^k,10^k+1,10^k+2,\dots ,10^k+k-1$

der Länge $k$ und damit beliebig lange arithmetische Progressionen. Für einen solchen Strang gilt

$\frac{1}{10^k}+\frac{1}{10^k+1}+\cdots +\frac{1}{10^k+k-1}\le k\frac{1}{10^k}.$

Die Summe der Kehrwerte aus $T$ kann man daher durch die Reihe

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k\frac{1}{10^k}$

nach oben abschätzen. Der Quotient von zwei aufeinander folgenden Reihengliedern ist

$\frac{(k+1)\frac{1}{10^{k+1}}}{k\frac{1}{10^k}}=\frac{k+1}{10k},$

was gegen $0$ konvergiert. Daher konvergiert diese Reihe nach dem Quotientenkriterium

und daher konvergiert auch die Ausgangsreihe.

Zur gelösten Aufgabe