Neilsche Parabel/Rationale Funktion mit Pol in (1,1)/Aufgabe/Lösung

Das maximale Ideal zum Punkt ${}P$ wird durch ${}(X-1,Y-1)$ beschrieben. Im Koordinatenring ${}R=K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3})$ gilt

${}{\begin{aligned}X^{2}(X-1)&=X^{3}-X^{2}\\&=Y^{2}-X^{2}\\&=(Y-X)(Y+X).\end{aligned}}$

Somit gilt im Quotientenkörper

${}f:={\frac {X^{2}}{Y-X}}={\frac {X+Y}{X-1}}\,.$

Dies ist auf der offenen Menge

${}D(Y-X,X-1)=D(Y-1,X-1)=C\setminus \{P\}\,$

eine rationale Funktion.

Um zu zeigen, dass diese Funktion nicht auf ganz ${}C$ definiert ist, arbeiten wir mit der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow C,\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).$

Dabei ist

${}\varphi ^{-1}(C\setminus P)={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{1\}\,.$

Unter dieser Abbildung wird die betrachtete rationale Funktion ${}f$ zu

${}{\frac {t^{2}+t^{3}}{t^{2}-1}}={\frac {t^{2}(1+t)}{(t+1)(t-1)}}={\frac {-t^{2}}{(t-1)}}\,.$

Diese Funktion kann nicht auf die affine Gerade fortgesetzt werden, also kann auch ${}f$ nicht auf ganz ${}C$ algebraisch fortgesetzt werden.

Zur gelösten Aufgabe