Neilsches Monoid/Werte in Z mod 9/Aufgabe

Wir betrachten das von ${}2$ und ${}3$ erzeugte Untermonoid in den natürlichen Zahlen, also

${}M=\{0,2,3,4,5,\ldots \}\subset \mathbb {N} \,,$

und den Restklassenring  ${}R=\mathbb {Z} /(9)$.  Ferner betrachten wir die Menge der ${}R$-wertigen Punkte von ${}M$ und ${}\mathbb {N}$ (also die Menge der Monoidhomomorphismen $\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,R)$ bzw. $\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(\mathbb {N} ,R)$) und die Restriktionsabbildung

$\psi \colon \operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(\mathbb {N} ,R)\longrightarrow \operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,R),\,\pi \longmapsto \pi {|}_{M}.$

a) Bestimme die Einheiten und die nilpotenten Elemente von ${}R$.
b) Bestimme die Anzahl von ${}\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(\mathbb {N} ,R)$.
c) Zeige, dass ein  ${}\rho \in \operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,R)$  mit der Eigenschaft, dass ${}\rho (2)$ eine Einheit in ${}R$ ist, eine Fortsetzung nach ${}\mathbb {N}$ besitzt.
d) Bestimme sämtliche  ${}\pi \in \operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(\mathbb {N} ,R)$,  deren Einschränkung auf ${}M\setminus \{0\}$ die Nullfunktion ist.
e) Bestimme sämtliche  ${}\rho \in \operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,R)$,  die keine Fortsetzung nach ${}\mathbb {N}$ besitzen.
f) Bestimme die Anzahl von ${}\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,R)$.

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