Nichtnoetherscher Integritätsbereich/Unendlich viele Variablen/Produkte/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte den kommutativen Ring

${}R=K[X,Y_{0},Y_{1},Y_{2},\ldots ]/{\left(Y_{0}-XY_{1},Y_{1}-XY_{2},Y_{2}-XY_{3},\ldots \right)}=K[X,Y_{n},n\in \mathbb {N} ]/{\left(Y_{i}-XY_{i+1},i\in \mathbb {N} \right)}\,.$

1. Zeige, dass ${}R$ ein Integritätsbereich ist.
2. Zeige, dass ${}X$ ein Primelement ist.
3. Zeige, dass ${}(X)$ ein maximales Ideal von ${}R$ ist.
4. Zeige, dass

   ${}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\left(X^{n}\right)}={\left(Y_{j},j\in \mathbb {N} \right)}\,$

   gilt und dass dies ein Primideal ist, das nicht endlich erzeugt ist. Wie lautet der Restklassenring zu ${}{\mathfrak {p}}$?

5. Zeige, dass die Krulldimension von ${}R$ zumindest ${}2$ ist.
6. Zeige, dass ${}Y_{0}$ keine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

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