Nichtnoetherscher Integritätsbereich/Unendlich viele Variablen/Produkte/Aufgabe

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Sei ein Körper und betrachte den kommutativen Ring

  1. Zeige, dass ein Integritätsbereich ist.
  2. Zeige, dass ein Primelement ist.
  3. Zeige, dass ein maximales Ideal von ist.
  4. Zeige, dass

    gilt und dass dies ein Primideal ist, das nicht endlich erzeugt ist. Wie lautet der Restklassenring zu ?

  5. Zeige, dass die Krulldimension von zumindest ist.
  6. Zeige, dass keine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente besitzt.