Nilpotenter Endomorphismus/Basisbilder/3/Aufgabe/Lösung

a) Die beschreibende Matrix ist

${\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

b) Es liegt eine obere Dreiecksmatrix vor, deren Diagonaleinträge alle ${}0$ sind, also ist ${}\varphi$ nilpotent.

c) Der Kern ist ${}Ke_{1}\oplus K(e_{2}-e_{3})$. Größer kann er nicht sein, da es sich nicht um die Nullabbildung handelt.

d) Wir arbeiten mit der Basis

${}v_{3}=e_{3}\,,$

${}\varphi (v_{3})=e_{1}=:v_{2}\,$

und

${}v_{1}=e_{2}-2_{3}\,.$

Die jordansche Normalform bezüglich dieser Basis ist

${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe