Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, dass alle

${\frac {f}{g}},\,{\frac {f}{g^{2}}},\,{\frac {f}{g^{3}}},\,\ldots$

zu ${}R$ gehören. Hierbei sind die vorhergehenden Elemente Vielfache der hinteren. Wegen noethersch wird das von diesen Elementen erzeugte Ideal von endlich vielen und damit auch von einem Element erzeugt, sagen wir von ${}{\frac {f}{g^{k}}}$. Dann gilt insbesondere

${}{\frac {f}{g^{k+1}}}=a{\frac {f}{g^{k}}}\,$

und somit

${}f=agf\,$

und

${}1=ag\,,$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage