Noetherscher Ring/Spektrum/Offene Teilmenge/Endlicher Typ/Lokale Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}A$ ein noetherscher Ring und

${}U=D({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(A\right)}\,$

eine offene Teilmenge.

Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Der globale Schnittring ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ ist vom endlichen Typ über ${}A$.
2. Es gibt eine offene affine Überdeckung  ${}X=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$  derart, dass ${}\Gamma (D({\mathfrak {a}})\cap D(f_{i}),{\mathcal {O}}_{X})$ von endlichem Typ über ${}A_{f_{i}}$.
3. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist ${}\Gamma (D({\mathfrak {a}}A_{\mathfrak {p}}),{\mathcal {O}}_{X})$ von endlichem Typ über ${}A_{\mathfrak {p}}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen