Norm (Mathematik)

Einleitung

Eine Norm $‖ \cdot ‖ : V \to ℝ_{o}^{+}$ ordnet jedem Vektor $v \in V$ in einem Vektorraum eine Länge $‖ v ‖$ zu. Mit einer Norm kann auch den Abstand zwischen zwei Vektoren $v_{1}, v_{2} \in V$ mit $‖ v_{1} - v_{2} ‖$ bestimmen.

Definition: Norm

Sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum und $‖ \cdot ‖ : V \to ℝ_{0}^{+}, x \mapsto ‖ x ‖,$ eine Abbildung Erfüllt $‖ \cdot ‖$ die folgenden Eigenschaften N1,N2, N3, so heißt $‖ \cdot ‖$ Norm auf $V$ .

(N1) Definitheit: $‖ x ‖ = 0 \Rightarrow x = 𝟘_{V}$ für alle $x \in V$ ,
(N2) absolute Homogenität: $‖ λ \cdot x ‖ = | λ | \cdot ‖ x ‖$ für alle $x \in V$ und $λ \in 𝕂$
(N3) Dreiecksungleichung: $‖ x + y ‖ \leq ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ für alle $x, y \in V$ .

Topologischer Vektoraum

Mit der durch die Norm $‖ \cdot ‖ : V \to ℝ_{o}^{+}$ definierten Topologie wird $(V, ‖ \cdot ‖)$ zu einem topologischer Vektorraum.

Mit (N1) können die Vektoren in $V$ getrennt werden (siehe Hausdorff-Raum)
Die Bedingung (N2) ist äquivalent zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren (siehe kreisförmige Mengen,
Die Bedingung (N3) als Dreiecksungleichung ist äquivalent zur Stetigkeit der Addition (siehe Topologisierungslemma).

Siehe auch