Norm (Mathematik)

Einleitung

Eine Norm $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ ordnet jedem Vektor $v\in V$ in einem Vektorraum eine Länge $\|v\|$ zu. Mit einer Norm kann auch den Abstand zwischen zwei Vektoren $v_{1},v_{2}\in V$ mit $\|v_{1}-v_{2}\|$ bestimmen.

Definition: Norm

Sei $V$ ein $\mathbb {K}$ -Vektorraum und $\|\cdot \|\colon V\to {\mathbb {R} }_{0}^{+},\;x\mapsto \|x\|,$ eine Abbildung Erfüllt $\|\cdot \|$ die folgenden Eigenschaften N1,N2, N3, so heißt $\|\cdot \|$ Norm auf $V$ .

(N1) Definitheit: $\|x\|=0\;\Rightarrow \;x=\mathbb {0} _{V}$ für alle $x\in V$ ,
(N2) absolute Homogenität: $\|\lambda \cdot x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ für alle $x\in V$ und $\lambda \in \mathbb {K}$
(N3) Dreiecksungleichung: $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ für alle $x,y\in V$ .

Topologischer Vektoraum

Mit der durch die Norm $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ definierten Topologie wird $(V,\|\cdot \|)$ zu einem topologischer Vektorraum.

Mit (N1) können die Vektoren in $V$ getrennt werden (siehe Hausdorff-Raum)
Die Bedingung (N2) ist äquivalent zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren (siehe kreisförmige Mengen,
Die Bedingung (N3) als Dreiecksungleichung ist äquivalent zur Stetigkeit der Addition (siehe Topologisierungslemma).

Siehe auch