Normale Körpererweiterungen/Beispiel/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Eine Körpererweiterung heißt normal, wenn es zu jedem ein Polynom , , mit gibt, das über zerfällt.

Eine normale Körpererweiterung ist insbesondere algebraisch. Wir werden gleich noch dazu äquivalente Eigenschaften kennenlernen. Einfache Eigenschaften von normalen Erweiterungen werden im folgenden Lemma zusammengefasst.



Lemma  

  1. Die Identität ist eine normale Körpererweiterung.
  2. Jede quadratische Körpererweiterung ist normal.
  3. Wenn eine normale Körpererweiterung ist und ein Zwischenkörper, so ist auch normal.
  4. Eine Erweiterung von endlichen Körpern ist normal.

Beweis  

(1) ist trivial.
(2). Sei mit dem Minimalpolynom , das den Grad oder besitzt. In besitzt einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor.
(3). Zu jedem gibt es ein Polynom , , mit , das über zerfällt. Wegen gilt diese Eigenschaft auch für .
(4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung mit einer Primzahl und einer Primzahlpotenz betrachten. Jedes Element ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms , so dass dieses Polynom über zerfällt.



Beispiel  

Das Polynom ist irreduzibel nach Aufgabe und definiert daher eine Körpererweiterung

vom Grad . Die Restklasse von in sei mit bezeichnet. Nach Aufgabe sind auch die Elemente aus

und

Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über . Daher ist die Körpererweiterung normal nach Fakt  (3).




Satz  

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Körpererweiterung ist normal.
  2. Wenn ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle in besitzt, so zerfällt es in .
  3. Es gibt ein -Algebraerzeugendensystem , , von und über zerfallende Polynome ,  , , mit .
  4. Für jede Körpererweiterung und jeden -Algebrahomomorphismus

    ist .

Beweis  

. Sei irreduzibel und . Dann ist nach Fakt das Minimalpolynom zu . Nach (1) gibt es ein über zerfallendes Polynom mit . Da ein Vielfaches von ist, muss auch über zerfallen.
. Zu gehört das Minimalpolynom , das nach Fakt irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über in Linearfaktoren zerfällt.
. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft.
. Seien und gegeben. Sei ein Element aus der erzeugenden Familie und sei das zugehörige zerfallende Polynom mit , das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist

daher ist eine Nullstelle des über zerfallenden Polynoms . Das heißt aber, dass ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle , da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt.
. Sei irreduzibel und sei mit . Wir können nach Fakt annehmen, dass das Minimalpolynom von ist. Wir setzen und ergänzen dies zu einem endlichen -Algebraerzeugendensystem von , sagen wir

Es seien die Minimalpolynome von über . Wir betrachten das Produkt und den Zerfällungskörper von über , der zugleich der Zerfällungskörper über ist. Sei eine Nullstelle von . Wir müssen zeigen. Es gibt einen -Isomorphismus

mit . Der Körper ist der Zerfällungskörper von über als auch über . Daher gibt es nach Fakt ein kommutatives Diagramm

mit einem -Isomorphismus . Nach Voraussetzung ist dabei , also ist .


Bemerkung  

Insbesondere die zweite Eigenschaft von Fakt zeigt, dass es sich hierbei um eine recht starke Eigenschaft handelt. Wenn man mit einem Primpolynom startet und sich den Restklassenkörper anschaut, so besitzt in eine Nullstelle, nämlich die Restklasse von . Daher gilt in die Beziehung mit einem Polynom . Es gibt aber keinen allgemeinen Grund, warum über in Linearfaktoren zerfallen sollte.


Wir geben ein Beispiel, das zeigt, dass die Verkettung von normalen Körpererweiterungen nicht normal sein muss.


Beispiel  

Wir betrachten die Körperkette , wobei und ist. Das sind zwei quadratische Körpererweiterungen, die beide nach Fakt  (2) normal sind. Wir setzen , und dieses Element erzeugt über . Wir können als einen Unterkörper von auffassen, indem wir für und dann für die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben

d.h. das Polynom wird von annulliert. Dieses Polynom besitzt über die Zerlegung

Wegen und ist das hintere quadratische Polynom über unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über nicht in Linearfaktoren und somit ist nicht normal.