Normale Körpererweiterungen/Beispiel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt normal, wenn es zu jedem ${}x\in L$ ein Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(x)=0$ gibt, das über ${}L$ zerfällt.

Eine normale Körpererweiterung ist insbesondere algebraisch. Wir werden gleich noch dazu äquivalente Eigenschaften kennenlernen. Einfache Eigenschaften von normalen Erweiterungen werden im folgenden Lemma zusammengefasst.

Lemma

1. Die Identität ist eine normale Körpererweiterung.
2. Jede quadratische Körpererweiterung ist normal.
3. Wenn ${}K\subseteq L$ eine normale Körpererweiterung ist und ${}K\subseteq M\subseteq L$ ein Zwischenkörper, so ist auch ${}M\subseteq L$ normal.
4. Eine Erweiterung von endlichen Körpern ist normal.

Beweis

(1) ist trivial.
(2). Sei ${}x\in L$ mit dem Minimalpolynom ${}F$, das den Grad ${}1$ oder ${}2$ besitzt. In ${}L[X]$ besitzt ${}F$ einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor.
(3). Zu jedem ${}x\in L$ gibt es ein Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(x)=0$, das über ${}L[X]$ zerfällt. Wegen ${}K[X]\subseteq M[X]$ gilt diese Eigenschaft auch für ${}M\subseteq L$.
(4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ mit einer Primzahl ${}p$ und einer Primzahlpotenz ${}q=p^{e}$ betrachten. Jedes Element ${}x\in {\mathbb {F} }_{q}$ ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{q}-X$, so dass dieses Polynom über ${}{\mathbb {F} }_{q}$ zerfällt.

$\Box$

Beispiel

Das Polynom ${}X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel nach Aufgabe und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Nach Aufgabe sind auch die Elemente aus ${}L$

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über ${}L$. Daher ist die Körpererweiterung normal nach Fakt  (3).

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Körpererweiterung ist normal.
2. Wenn ein irreduzibles Polynom ${}P\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}L$ besitzt, so zerfällt es in ${}L[X]$.
3. Es gibt ein ${}K$-Algebraerzeugendensystem ${}x_{i}\in L$, ${}i\in I$, von ${}L$ und über ${}L$ zerfallende Polynome ${}F_{i}\in K[X]$, ${}F_{i}\neq 0$ , ${}i\in I$, mit ${}F_{i}(x_{i})=0$.
4. Für jede Körpererweiterung ${}L\subseteq M$ und jeden ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   ist ${}\varphi (L)\subseteq L$.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Es sei ${}P\in K[X]$ irreduzibel und ${}P(x)=0$. Dann ist ${}P$ nach Fakt das Minimalpolynom zu ${}x$. Nach (1) gibt es ein über ${}L$ zerfallendes Polynom ${}F$ mit ${}F(x)=0$. Da ${}F$ ein Vielfaches von ${}P$ ist, muss auch ${}P$ über ${}L$ zerfallen.
${}(2)\Rightarrow (1)$. Zu ${}x\in L$ gehört das Minimalpolynom ${}P$, das nach Fakt irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft.
${}(3)\Rightarrow (4)$. Seien ${}L\subseteq M$ und ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ gegeben. Es sei ${}x_{i}\in L$ ein Element aus der erzeugenden Familie und sei ${}F_{i}\neq 0$ das zugehörige zerfallende Polynom mit ${}F_{i}(x)=0$, das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist

${}F_{i}(\varphi (x_{i}))=\varphi (F_{i}(x_{i}))=\varphi (0)=0\,,$

daher ist ${}\varphi (x_{i})\in M$ eine Nullstelle des über ${}L$ zerfallenden Polynoms ${}F_{i}$. Das heißt aber, dass ${}\varphi (x_{i})\in L$ ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle ${}x\in L$, da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt.
${}(4)\Rightarrow (2)$. Es sei ${}P\in K[X]$ irreduzibel und sei ${}x\in L$ mit ${}P(x)=0$. Wir können nach Fakt annehmen, dass ${}P$ das Minimalpolynom von ${}x$ ist. Wir setzen ${}x_{1}=x$ und ergänzen dies zu einem endlichen ${}K$-Algebraerzeugendensystem von ${}L$, sagen wir

${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,.$

Es seien ${}P_{1}=P,P_{2},\ldots ,P_{n}$ die Minimalpolynome von ${}x_{i}$ über ${}K$. Wir betrachten das Produkt ${}F=P_{1}\cdots P_{n}$ und den Zerfällungskörper ${}M$ von ${}F$ über ${}L$, der zugleich der Zerfällungskörper über ${}K$ ist. Es sei ${}y\in M$ eine Nullstelle von ${}P$. Wir müssen ${}y\in L$ zeigen. Es gibt einen ${}K$-Isomorphismus

$\varphi \colon K[x]\cong K[X]/(P)\longrightarrow K[y]$

mit ${}\varphi (x)=y$. Der Körper ${}M$ ist der Zerfällungskörper von ${}F$ über ${}K[x]$ als auch über ${}K[y]$. Daher gibt es nach Fakt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}K[x]&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&K[y]&\\\downarrow &&\downarrow &\\M&{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

mit einem ${}K$-Isomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}$. Nach Voraussetzung ist dabei ${}{\tilde {\varphi }}(L)\subseteq L$, also ist ${}y=\varphi (x)\in L$.

$\Box$

Bemerkung  

Insbesondere die zweite Eigenschaft von Fakt zeigt, dass es sich hierbei um eine recht starke Eigenschaft handelt. Wenn man mit einem Primpolynom ${}P\in K[X]$ startet und sich den Restklassenkörper ${}L=K[X]/(P)$ anschaut, so besitzt ${}P$ in ${}L$ eine Nullstelle, nämlich die Restklasse ${}x$ von ${}X$. Daher gilt in ${}L[X]$ die Beziehung ${}P=(X-x)Q$ mit einem Polynom ${}Q\in L[X]$. Es gibt aber keinen allgemeinen Grund, warum ${}Q$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfallen sollte.

Wir geben ein Beispiel, das zeigt, dass die Verkettung von normalen Körpererweiterungen nicht normal sein muss.

Beispiel

Wir betrachten die Körperkette ${}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$, wobei ${}M=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ und ${}L=M({\sqrt {1+{\sqrt {3}}}})$ ist. Das sind zwei quadratische Körpererweiterungen, die beide nach Fakt  (2) normal sind. Wir setzen ${}u={\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$, und dieses Element erzeugt ${}L$ über ${}\mathbb {Q}$. Wir können ${}L$ als einen Unterkörper von ${}\mathbb {R}$ auffassen, indem wir für ${}{\sqrt {3}}$ und dann für ${}{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$ die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben

${}u^{4}-2u^{2}-2=(u^{2}-1)^{2}-3=0\,,$

d.h. das Polynom ${}X^{4}-2X^{2}-2$ wird von ${}u$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über ${}L$ die Zerlegung

${}{\begin{aligned}X^{4}-2X^{2}-2&={\left(X^{2}-1\right)}^{2}-3\\&={\left(X^{2}-1-{\sqrt {3}}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\left(X^{2}-u^{2}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&=(X-u)(X+u){\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}.\end{aligned}}$

Wegen ${}L\subseteq \mathbb {R}$ und ${}{\sqrt {3}}-1>0$ ist das hintere quadratische Polynom über ${}L$ unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über ${}L$ nicht in Linearfaktoren und somit ist ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ nicht normal.