Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Charakterisierung von normal über Grundkörper durch Automorphismen/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn  ${}K\subseteq M$  normal ist, so gilt die Homomorphismuseigenschaft aufgrund von Fakt  (4).
Zur Umkehrung verwenden wir das Kriterium Fakt  (2). Es sei also  ${}P\in K[X]$  ein irreduzibles (normiertes) Polynom, das in ${}M$ eine Nullstelle, sagen wir ${}\alpha$, besitzt. Dieses Polynom zerfällt über ${}L$ in Linearfaktoren, und wir müssen zeigen, dass die zugehörigen Nullstellen zu ${}M$ gehören. Es sei  ${}\beta \in L$  eine weitere Nullstelle von ${}P$. Wegen der Irreduzibilität und Fakt ist ${}P$ das Minimalpolynom von ${}\alpha$ und auch von ${}\beta$, d.h. die beiden Elemente sind konjugiert. Nach Fakt gibt es daher einen ${}K$-Automorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ mit  ${}\varphi (\alpha )=\beta$.  Nach Voraussetzung ist  ${}\beta \in M$. 

Zur bewiesenen Aussage