Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Charakterisierung von normal über Grundkörper durch Automorphismen/Fakt/Beweis

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Beweis

Wenn normal ist, so gilt die Homomorphismuseigenschaft aufgrund von Fakt  (4).
Zur Umkehrung verwenden wir das Kriterium Fakt  (2). Es sei also ein irreduzibles (normiertes) Polynom, das in eine Nullstelle, sagen wir , besitzt. Dieses Polynom zerfällt über in Linearfaktoren, und wir müssen zeigen, dass die zugehörigen Nullstellen zu gehören. Es sei eine weitere Nullstelle von . Wegen der Irreduzibilität und Fakt ist das Minimalpolynom von und auch von , d.h. die beiden Elemente sind konjugiert. Nach Fakt gibt es daher einen -Automorphismus mit . Nach Voraussetzung ist .