Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Charakterisierung von normal über Grundkörper durch Automorphismen/Fakt/Beweis
Beweis
Wenn
normal ist, so gilt die Homomorphismuseigenschaft aufgrund von
Fakt (4).
Zur Umkehrung verwenden wir das Kriterium
Fakt (2).
Es sei also ein irreduzibles
(normiertes)
Polynom, das in eine Nullstelle, sagen wir , besitzt. Dieses Polynom zerfällt über in Linearfaktoren, und wir müssen zeigen, dass die zugehörigen Nullstellen zu gehören. Es sei eine weitere Nullstelle von . Wegen der Irreduzibilität und
Fakt
ist das Minimalpolynom von und auch von , d.h. die beiden Elemente sind
konjugiert. Nach
Fakt
gibt es daher einen -Automorphismus
mit
.
Nach Voraussetzung ist .