Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Fakt.
Von (2) nach (3). Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen ist

${}D=\mathbb {Z} /(\ell _{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(\ell _{a})\times \mathbb {Z} ^{b}\,,$

daher ist

${}G=D^{\vee }=\mu _{\ell _{1}}{\left(K\right)}\times \cdots \times \mu _{\ell _{a}}{\left(K\right)}\times {\left(K^{\times }\right)}^{b}\,.$

Die zur Graduierung gemäß Fakt gehörende Gruppenoperation der Charaktergruppe ist für ${}\chi \in G$ durch

$X_{i}\longmapsto \chi (\delta (e_{i}))X_{i}$

festgelegt. Mit

${}\delta (e_{i})={\left(\delta _{i,1},\ldots ,\delta _{i,{a+b}}\right)}\,$

und

${}\chi ={\left(t_{1},\ldots ,t_{a+b}\right)}\,$

(beides entsprechend der Produktzerlegung von ${}D$ bzw. von $D^{\vee }$)ist

${}\chi (\delta (e_{i}))X_{i}=\chi {\left(\delta _{i,1},\ldots ,\delta _{i,{a+b}}\right)}X_{i}=t_{1}^{\delta _{i,1}}\cdots t_{a+b}^{\delta _{i,{a+b}}}X_{i}\,.$

Es liegt also die im Satz beschriebene Form der Operation vor. Aufgrund der Voraussetzung an den Körper sind die Bedingungen von Fakt erfüllt, also ist die neutrale Stufe der Invariantenring. Nach Fakt ist die Operation treu.
(3) nach (2). Es sei die Operation mit den Daten ${}d_{i,j}$ gegebenen. Wir setzen

${}D:=\mathbb {Z} /(\ell _{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(\ell _{a})\times \mathbb {Z} ^{b}\,$

und definieren einen Gruppenhomomorphismus ${}\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\rightarrow D$ durch ${}e_{i}\mapsto {\left(d_{i1},\ldots ,d_{i,a+b}\right)}$. Die Gruppenoperation der durch ${}\delta$ gegebenen Graduierung ist gerade die vorgegebene Operation. Diese Aussage folgt somit aus Fakt.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar.

Zur bewiesenen Aussage