Nullteiler/Integritätsbereich/Körper/Teilbarkeitseigenschaften/Einführung/Textabschnitt

Häufig wird die Teilbarkeitstheorie nur für Integritätsbereiche entwickelt.

Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Ein Nullteiler ist ein Element $x$ mit der Eigenschaft, dass es ein von $0$ verschiedenes Element $y$ mit  $xy=0$  gibt. Die Null ist in einem vom Nullring verschieden Ring stets ein Nullteiler. Nullteilerfrei bedeutet, dass die $0$ der einzige Nullteiler ist bzw. dass alle von $0$ verschiedenen Elemente keine Nullteiler oder Nichtnullteiler sind. Nullteilerfrei kann man auch so formulieren, dass aus einer Gleichung  $xy=0$  folgt, dass  $x=0$  oder  $y=0$  ist.

Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn  $R\ne 0$  ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

In einem Körper sind also alle von $0$ verschiedenen Elemente Einheiten (und insbesondere Nichtnullteiler). Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche. In einem Körper ist die Teilbarkeitsbeziehung uninteressant, da jedes von $0$ verschiedene Element jedes andere Element teilt.

Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung  $p=ab$.  Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir  $a=ps$.  Dann ist  $p=psb$  bzw.  $p(1-sb)=0$.  Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt  $1=sb$,  sodass also $b$ eine Einheit ist.

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