Nullteiler/Integritätsbereich/Körper/Teilbarkeitseigenschaften/Einführung/Textabschnitt
Häufig wird die Teilbarkeitstheorie nur für Integritätsbereiche entwickelt.
Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Ein Nullteiler ist ein Element mit der Eigenschaft, dass es ein von verschiedenes Element mit gibt. Die Null ist in einem vom Nullring verschieden Ring stets ein Nullteiler. Nullteilerfrei bedeutet, dass die der einzige Nullteiler ist bzw. dass alle von verschiedenen Elemente keine Nullteiler oder Nichtnullteiler sind. Nullteilerfrei kann man auch so formulieren, dass aus einer Gleichung folgt, dass oder ist.
Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
In einem Körper sind also alle von verschiedenen Elemente Einheiten (und insbesondere Nichtnullteiler). Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche. In einem Körper ist die Teilbarkeitsbeziehung uninteressant, da jedes von verschiedene Element jedes andere Element teilt.
In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
Angenommen, wir haben eine Zerlegung . Wegen der Primeigenschaft teilt einen Faktor, sagen wir . Dann ist bzw. . Da kein Nullteiler ist, folgt , sodass also eine Einheit ist.