Nullumgebung

Einleitung

Der Lerneinheit betrachtet den Zusammenhang zwischen Nullumgebungen und der Stetigkeit der Addition und der Multiplikation mit Skalaren in einem topologischen Vektorraum ist fundamental für die Definition und die Eigenschaften eines topologischen Vektorraums. Ein topologischer Vektorraum ist ein Vektorraum, der mit einer Topologie ausgestattet ist, sodass die Vektorraumoperationen (Addition und Skalarmultiplikation) stetig sind.

Topologischer Vektorraum und Stetigkeit

Ein topologischer Vektorraum $(V,{\mathcal {T}})$ ist ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ , der mit einer Topologie ${\mathcal {T}}$ als System von offenen Mengen ausgestattet ist, sodass die Addition und die Multiplikation mit Sklaren stetig sind. Diese Abbildungen sind wie folgt definiert:

{\begin{array}{rrcl}+:&V\times V&\rightarrow &V\\&\left(x,y\right)&\mapsto &x+y\\\cdot :&\mathbb {K} \times V&\rightarrow &V\\&\left(\lambda ,x\right)&\mapsto &\lambda \cdot x\\\end{array}}

Topologische Algebra und Stetigkeit

Eine topologische Algebra $(V,{\mathcal {T}})$ ist ein topologischer Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ , der mit einer Topologie ${\mathcal {T}}$ als System von offenen Mengen ausgestattet ist, sodass zusätzlich die gegebene Multiplikation als innere Verknüpfung ebenfalls stetig ist. Diese Abbildung sind wie folgt definiert:

{\begin{array}{rrcl}\odot :&V\times V&\rightarrow &V\\&\left(x,y\right)&\mapsto &x\odot y\\\end{array}}

Produkttopologie

Die Vektoräume $V\times V$ und $\mathbb {K} \times V$ werden dabei jeweils mit der Produkttopologie versehen und die Stetigkeit bzgl. dieser Produkttopologie betrachtet.

Topologisierungslemma

Nach dem Topologisierungslemma für topologische Vektoräume $(V,{\mathcal {T}})$ lässt sich die Topologie auch durch ein System $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}:=\{\|\cdot \|_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ erzeugen. Mit diesem Gaugefunktionalsystem kann man ein Gaugefunktionalsystem $|\!\|\cdot \|\!|_{\mathcal {A}}:=\{|\!\|\cdot \|\!|_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ auf $V\times V$ erzeugen lässt. Dabei können Gaugefunktional auf $V\times V$ wie folgt definiert werden:

{\begin{array}{rrcl}|\!\|\cdot \|\!|_{\alpha }:&V\times V&\rightarrow &\mathbb {R} _{o}^{+}\\&\left(x,y\right)&\mapsto &|\!\|(x,y)\|\!|_{\alpha }:=\max\{\|x\|_{\alpha },\|y\|_{\alpha }\}\\\end{array}}

Analog kann man auf dem Raum $\mathbb {K} \times V$ die Produkttopologie mit folgendem Gaugefunktionalsystem $|\!\|\cdot \|\!|_{\mathcal {A}}^{\ast }:=\{|\!\|\cdot \|\!|_{\alpha }^{\ast }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ erzeugen.

{\begin{array}{rrcl}|\!\|\cdot \|\!|_{\alpha }^{\ast }:&\mathbb {K} \times V&\rightarrow &\mathbb {R} _{o}^{+}\\&\left(\lambda ,x\right)&\mapsto &|\!\|(\lambda ,y)\|\!|_{\alpha }^{\ast }:=\max\{|\lambda |,\|x\|_{\alpha }\}\\\end{array}}

Schritt 1 - Nullumgebung

Eine Nullumgebung $U$ in einem topologischen Vektorraum $V$ ist eine offene Menge, die den Nullvektor $0_{_{V}}$ enthält. Die Topologie ist bereits vollständig durch die Menge der Nullumgebungen aus der Topologie von $V$ vollständig definiert. Die Addition ist eine lineare Abbildung, daher muss man nach dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen nur, die Stetigkeit im Nullvektor $(0_{_{V}},0_{_{V}})\in V\times V$ des kartesischen Produktes nachweisen. Die Multiplikation mit Skalaren und die Multiplikation als innere Verknüpfung sind bilineare Abbildungen und auch in diesem Fall reicht der Nachweis in $(0,0_{_{V}})\in \mathbb {K} \times V$ bzw. $(0_{_{V}},0_{_{V}})\in V\times V$ .

Schritt 2 - Stetigkeit der Addition

In einem topologischen Vektorraum sind durch die Stetigkeit der Addition mit einer Nullumgebung $U$ auch verschobene Nullumgebungen $x+U$ Umgebungen von $x\in V$ . Die Stetigkeit der Addition bedeutet, dass für jede Nullumgebung $U_{\alpha }$ in $V$ und für jedes $x,y\in V$ eine Nullumgebung $U_{\beta }$ existiert, sodass $(x+U_{\beta })+(y+U_{\beta })\subseteq x+y+U_{\alpha }$ .

Schritt 3 - Definition der Addition

Die Addition ist eine Abbildung $V\times V\to V$ , $(x,y)\mapsto x+y$ . Um die Stetigkeit der Addition nachzuweisen, muss man nur die Stetigkeit in $(0_{_{V}},0_{_{V}})\in V\times V$ in der Produkttopologie nachweisen. Da $0_{_{V}}+0_{_{V}}=0_{_{V}}$ . Muss man zu jeder Nullumgebung um $0_{_{V}}$ eine Umgebung $U_{1}\times U_{2}$ um $(0_{_{V}},0_{_{V}})\in V\times V$ finden, sodass $U_{1}+U_{2}\subset U$ gilt.

Schritt 4 - Stetigkeit der Addition

Da der Schnitt von zwei offenen Nullumgebungen ${\widetilde {U}}=U_{1}\cap U_{2}$ wieder offen ist, reicht es, eine Nullumgebung ${\widetilde {U}}$ zu finden, die die folgende Eigenschaften erfüllt. Die Addition ist stetig, wenn für jede Nullumgebung $U\in {\mathcal {T}}$ in $V$ und für jedes $x,y\in V$ eine Nullumgebung ${\widetilde {U}}$ existiert, sodass:

(x+{\widetilde {U}})+(y+{\widetilde {U}})\subseteq x+y+U.

Schritt 5 - Verwendung von Nullumgebungen

Sei $U$ eine Nullumgebung in $V$ . Da die Addition stetig ist, existiert eine Nullumgebung $W$ , sodass:

(x+{\widetilde {U}})+(y+{\widetilde {U}})\subseteq x+y+U.

Dies bedeutet, dass die Addition von Elementen, die nahe bei $x$ und $y$ liegen, ebenfalls nahe bei $x+y$ liegt.

Schritt 6 - Definition der Skalarmultiplikation

Die Skalarmultiplikation ist eine Abbildung $\mathbb {K} \times V\to V$ , $(\lambda ,x)\mapsto \lambda x$ .

Schritt 7 - Stetigkeit der Skalarmultiplikation

Die Stetigkeit der Skalarmultiplikation bedeutet, dass für jede Nullumgebung $U$ in $V$ und für jedes $\lambda _{o}\in \mathbb {K}$ und $x\in V$ eine Nullumgebung ${\widetilde {U}}$ in $V$ und eine Nullumgebung $D_{\delta }(\lambda _{o})=\{\lambda \in \mathbb {K} \,\colon \,|\lambda -\lambda _{o}|<\delta \}$ in $\mathbb {K}$ existieren, sodass $D_{\delta }(\lambda _{o})\cdot (x+{\widetilde {U}})\subseteq \lambda x+U$ .

(\lambda +V)(x+W)\subseteq \lambda x+U.

Zusammenfassung

Der Zusammenhang zwischen Nullumgebungen und der Stetigkeit der Addition und der Multiplikation mit Skalaren in einem topologischen Vektorraum liegt darin, dass die Stetigkeit dieser Operationen durch die Existenz geeigneter Nullumgebungen sichergestellt wird. Die Nullumgebungen spielen eine zentrale Rolle bei der Definition der Topologie und der Stetigkeit der Vektorraumoperationen. Die Stetigkeit der Addition und der Skalarmultiplikation wird allein durch den Nachweis der Stetigkeit $(0_{_{V}},0_{_{V}})\in V\times V$ für die Addition und die Stetigkeit in $(0,0_{_{V}})\in \mathbb {K} \times V$ für die Multiplikation mit Skalaren garantiert.

Siehe auch