Offene Mengen/K-Vektorraum/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von 1-Formen/In Koordinaten/Fakt

Es seien $V^{\prime },V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, auf $V^{\prime }$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen $x_1,\dots ,x_n$ und auf $V$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen $y_1,\dots ,y_m$ fixiert. Es seien $U\subseteq V$ und $U^{\prime }\subseteq V^{\prime }$ offene Teilmengen, es sei

$\phi :U^{\prime }⟶U$

eine total differenzierbare Abbildung und es sei $\omega$ eine $W$-wertige $1$-Differentialform auf $U$ mit der Darstellung

$\omega =\sum _{i=1}^m{f}_{i}d{y}_i$

mit Funktionen $f_i:U\to W$.

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

$\begin{array}{cc}{\phi }^{\ast }\omega & =\sum _{j=1}^n(\sum _{i=1}^m(f_i\circ \phi )\cdot \frac{\partial {\phi }_i}{\partial x_j})d{x}_j\\ \end{array}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen